再谈不能把张氏第二构形与第八构形划为一类的问题

雷明85639720

再谈不能把张氏第二构形与第八构形划为一类的问题
——也用实践验证第8构形的归属
雷  明
（二○一六年六月三十日）

我说了多少次了，张彧典先生把他的九大构形中的第八构形划归为第二构形（即H—构形）是不对的，现在，我也用实践的办法来做一下证明。
1、什么是类赫渥特图型的构形
明确什么是类赫渥特图型的构形，是一个首要的问题。张先生是把只要“有两条相交叉的连通链的构形”，统一称为类赫渥特图型的构形，即H—构形；但有些有两条相交叉的连通链的构形，却是能够同时移去两个同色的普通构形，如图1的三个构形等。

图1中的三个图都符合张先生所说的类赫渥特图型的构形的条件，都含有两条相交叉的连通链，但这三个图却都是可同时移去两个同色B的。张先生的九构形中没有图1，a的构形,而张先生的第一构形就是这里的图1，b，张先生的第三构形就是这里的图1，c，只是画法有所不同罢了。
而我认为类赫渥特图型的构形，则是“不能同时移去两个同色的构形”。这样以来，不光是图1中的三个构形，就连张先生九构形中的第一，第三，第四，第五，第六，第七六个构形都不是类赫渥特图型的构形了。因为这六个构形都是可同时移去两个同色B的。只是第一构形先从顶点1进行了B—D链的交换，后从顶点3进行B—C链的交换；而第三，第四，第五，第六，第七五个构形得先从顶点3进行B—C链的交换，后从顶点1进行B—D链的交换；而这里的图1，a则无论从那一个顶点先进行交换，都是可以同时移去两个同色B的。
2、赫渥特构形（即张氏第二构形）的着色
按张先生的颠倒法对其第二个构形着色时，无论是从那个方向进行颠倒，都得颠倒两次，才能变成不含有两条相交叉的连通链的构形，然后再交换一次就可以空出颜色给待着色顶点V着上。但实际上在进行了一次颠倒后，第二构形的图就变成了可以同时移去两个同色的构形了，即变成了第一构形或第三构形了。第二构形进行了一次逆时针颠倒后，成了第一构形，如图2，同图1，b；第二构形进行了一次顺时针颠倒后，则成了第三构形，如图3，同图1，c。都不再是类赫渥特图型的构形了。而张先生进行的所谓第二次颠倒，实际上则是对新变成的可同时移去两个同色的非H—构形进行的第一步交换，移去一个同色；最后进行的一次交换，则是对这个新变成的可同时移去两个同色的非H—构形进行的第二步交换，移去另一个同色。我们对图2的右图和图3的右图进行可移去两个同色的交换（第一步就是张先生说的第二次颠倒，第二步则是张先生的最后一次交换），得到的结果与张先生得到的结果是相同的，如图4和图5。其实，解决赫渥特构形最好的办法是从顶点8（或顶点1，2，3）交换A—B链，进行断链，即可变成非H—构形，如图6。这一方法比张先生的颠倒要更简单一些，交换的次数要少。





3、张氏第八构形的着色

张先生的构形八画得很乱，我把它整理了一下，如图7。由于第二构形是对称的，所以对其无论是进行逆时针颠倒，还是顺时针颠倒，都是颠倒两次后才能使构形转变成非H—构形，即没有交叉的连通链的构形。而第八构形却是不对称的，所以我们也得从两个方向进行颠倒，再进行比较。两个方向的颠倒与第二构形的颠倒次数完全相同时，才能把第八构形归为第二构形一类。否则仍是不能归为一类的。



当对图7从顶点1进行一次逆时针颠倒（即交换B—D链）时，得到图8。该图中除了有两条相交叉的连通链C—A和C—B外，还有环形的A—B链，这是典型的赫渥特图的特征。应该说还得经过两次同方向的颠倒后才能变成非H—构形，如图9和图10。但是图10并不是非H—构形，仍然有两条连通的交叉链D—A和D—B；不仅如此，且还有环形的A—B链，仍是一个标准的赫渥特构形。这样，就好象也卷入了类似于米勒的循环之中了。但这并不是米勒认为的没办法解决了，还是有办法解决的。至于如何去解决，在后面就会谈到。
以上只是对张氏第八构形进行了逆时针颠倒，现在再进行一下顺时针颠倒，如图11，图12和图13。经过两次颠倒后，构形成为一个只有一条连通链B—D的非H—构形（图12），再从顶点3交换B—C链，空出C给V着上。这里的颠倒次数和交换次数均是与第二构形是相同的，但还不能说明这两个构形就是同一类构形，因为该第八构形从逆时针颠倒看，是与第二构形不同的。看下面的分析。



4、分析
①　现在再证实一下第八构形是一个不能同时移去两个同色B的构形。对图7的第八构形从顶点1进行了B—D链的交换后的图如图8，产生了从顶点3到顶点5 的连通链B—C；若对图7的第八构形从顶点3进行了B—C链的交换后的图如图11，产生了从顶点1到顶点4 的连通链B—D；说明该构形的确与第一，第三，第四，第五，第六，第七构形不同，是不能同进移去两个同色B的。
②  对第八构形进行了一次逆时针颠倒后（图8），构形已经变型，变成了一个类似米勒图的构形，其中不但有两条相交叉的连通链D—A和D—B，而且，还既有环形的C—D链，又有环形的A—B链，两链分别又都有直链。用米勒构形的解法去解决就可以了。对图8中的三条C—D链分别进行交换，分别得到图14，图15和图16（各图中分别有一个加大顶点的链就是交换了的C—D链），它们都是非H—构形。



③　同样的对第八构形进行了一次顺时针颠倒后（图11），构形已经变型，其中不但有两条相交叉的连通链C—A和C—B，而且，还有环形的C—D链，把A—B链分成了环内环外两个不连通的部分，是一个与图1，a相同的非赫渥特图型的构形，可以同时移去两个同色C。对图11先从顶点5开始交换C—A链，再从顶点3开始交换C—B链，就可同时移去两个同色C，把C给待着色顶点V着上，如图17和图18。


④　通过以上的分析，可以看出，图是多种多样的，4—着色的方法也是多种多样的。就拿张氏第八构形来说吧，顺时什颠倒一次，就变成了一个可同时移去两个同色的非H—构形，而逆时什颠倒一次则是一个类似于米勒图的图，但又与米勒图差别较大。米勒图解决用的是交换不含有两个同色的链的方法进行“断链”的，而这个类似于米勒图的图却是用交换含有两个同色的链的方法进行“断链”的，都达到了4—着色的目的；同时，同样都是不含任何环形链的构形，第八构形就和第一，第三，第四，第五，第六，第七六个构形都不相同，也不能归为同一类。第八构形也不能归为第二构形一类，因为第二构形有一条环形的C—D链，而第八构形则没有。当然了，还可以构造出更多的构形来。我们不能因为把已构造出来的构形都进行了4—着色，就说四色猜测就得到了证明是正确的。也不能因为别人找不出不能用四种颜色着色的平面图，就说明你的证明就是正确的。所以说，用着色的方法是很难证明四色猜测是正确还是不正确的，还是要用不画图不着色的、纯理论（图论）的方法进行证明的。
5、再构造成一个构形
我还可以根据张先生的第八构形构造一个左右对称的构形。如图19。该项图也不能同时移去两同色B，只能进行赫渥特颠倒变型。从顶点1进行逆时针颠倒后，变成一个可以同时移去两个同色的构形，而从顶点3进行了顺时针颠倒后，则变成一个赫渥特图型的构形。总之，无论怎么颠倒都是可以给待着色顶点V着上图同已用过的四种颜色之一的。

6、类赫渥特图型构形的两种定义的分析
张彧典先生把只要“有两条相交叉的连通链的构形”，统一称为类赫渥特图型的构形，而我则把“不能同时移去两个同色的构形”才叫做类赫渥特图型的构形。张先生的定义松一些，我的定义紧一些。就是这一松一紧，才产生了对某些构形归类问题上的不同看法。按张先生的定义，只要“有两条相交叉的连通链的构形”，就是类赫渥特图型的构形，但他却把含有环形的A—B链的形如图1，a的构形不认为是类赫渥特图型的构形；同样都是“有两条相交叉的连通链的构形”，有的被张先生划归为类赫渥特图型的构形，而有的则不能划入，这就显得有些混乱。而按我的定义，把“不能同时移去两个同色的构形”才叫做类赫渥特图型的构形，图1，a的图自然就不是类赫渥特图型的构形了，不仅是这一个，包括张先生九构形中的第一，第三，第四，第五，第六，第七，都不是类赫渥特图型的构形子。
张先生对各构形的着色统一都是用颠倒法，是以颠倒次数的多少去分类的；而我对各构形的着色则是根据各构形的特点，采用各自的独特方法，着色的方法不同，自然就不能紧为同一类。这样以来就产生了张先生认为他的第二，第八构形应归为一类，而我则认为不能归为一类的两种意见。但要他细的分析，第二构形与第八构形从逆时针颠倒和顺时针颠倒上看，颠倒的次数还是有差别的，不能视为同一类构形。意见不能统一，也是可以的，关键是这些构形中的待着色顶点都是处在一个5—轮的中心，都没有离开5—轮构形这个范围。
7、平面图的不可免集
以上所在的构形中，待着色的顶点都是处在一个5—轮的中心顶点上，都是5—轮构形，或都是张先生所叫的R构形。该构形与其他的坎泊已经证明过是可约的构形共同构形了平面图的不可免集，这也是严格经过证明的。所以说只要证明了该项集中的每一个构形都是可约的，四色猜测也就得到了证明。其他的任何不可免集，包括阿贝尔的近2000个构形，罗伯逊的633个构形，还有张彧典的九个或四个构形都是没有经过证明的，不能叫做不可免集。张先生原先一直强调他已经过证明，只有他的九个构形，是最完备的。可是他最近又构造成了Z1，Z2，Z3三个构形是不可免的，这本身就说明了随意定义的构形就是永远也构造不完的，因为它没有一个标准。只有坎泊证明了的构形集是标准的，是完备的。他的标准就只有一个，就是轮，只有一个待着色顶点，任何平面图中至少含该有集合中的一个构形。

雷  明
二○一六年六月份三十日于长安
注：此文已于二○一六年七月二日在《中国博士网》中发表。网址是：

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