再谈类赫渥特图型构形的种类——兼对四色猜测的证明

雷明85639720

再谈类赫渥特图型构形的种类
——兼对四色猜测的证明
雷  明
（二○一六年七月十二日）

要谈类赫渥特图型构形的种类问题，就必须先谈非类赫渥特图型的构形（即坎泊构形）问题，用类似的分析方法展开对类赫渥特图型的构形进行分析，当各种情况都要考虑周全后，类赫渥特图型构形的种类也就得到了，再加上坎泊构形，就可以构成了平面图的不可免构形集。当该集合中的每一个元素（构形）都是可约的时，四色猜测也就应该说得到了证明是正确的。
一、非类赫渥特图型的构形的可约性
1、不用说，图1中被坎泊早已证明了2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形都是可约的。

2、5—轮构形：我们仍用张彧典先生的习惯，对5—轮的表示如下：顶点1和顶点3用同色B表示，顶点2用颜色A表示，顶点2画在5—轮图的正上方，顶点4用颜色D表示，在5—轮图的右下方，顶点5用颜色C表示，在5—轮图的左下方，如图1，d。
3、非类赫渥特图型类构形的可约性：
①  无任何连通链时：可以从轮沿顶点中移去任何一种颜色给待着色顶点V着上，V可以着4种颜色中的任何一种。如图2。



②  只有一条连通链时：待着色顶点V有三种颜色可着。当连通链是A—C链时，V可着A，B，D三种颜色之一，如图3：当连通链是A—D链时，V可着A，B，C三种颜色之一，如图4。当连通链是B—C链时，V可着A，C，D三种颜色之一，如图5；当连通链是B—D链时，V也可着A，C，D三种颜色之一，如图6。


③  有两条连通链但只有一个相交顶点时：一种情况是A—C和A—D链连通且相交，只有一个相交顶点2A，可同时移去两个同色B给待着色顶点V着上，如图7；另一种情况是B—C和B—D链连通且相交，在5—轮外有一个相交顶点，待着色顶点V有A，C，D三种颜色可着，如图8。


④  有两条连通链且有两个相交顶点的情况：
坎泊的研究工作就只证明了以上的构形是可约的，他并没有证明有两条连通链且有两个相交顶点情况下的构形是可约的。所以以上的构形人们通常称为坎泊构形。图9就是几个类赫渥特图型的构形。
各图共同都有A—C和A—D连通链，且两链有两个着A色的相交顶点2和8。图9，a,b,c三个构形，都可以同时移去两个同色，给待着色顶点V着B，只是交换的次序不同罢了；只有图9，d（即是由赫渥特国务部长间化而来的九点形图）是不能同时移去两个同色的。

图9中可以同时移去两个同色B的构形虽然不是坎泊构形，但它们却也不是类赫渥特图型的构形，就应该纳入非类赫渥特图型构形一类。而把不能同时移去两个同色的构形才叫做类赫渥特图型的构形。这就是我与张彧典先生的分岐所在。张先生是把只要含有两条连通且相交两次的图都叫做类赫渥特图型的构形。我的研究是找各类构形的特点，找其独特的着色方法；而张先生则是从其共同的特点——有两条连通且相交两次的链——出发，统一按“颠倒”次数的多少进行分类的，当然所得到的结论也就不可能相同。关键的问题是要看那一种分类方法更科学一些。请网友们进行了评论。
二、类赫渥特图型的构形的可约性
1、赫渥特图型的构形：
上面图9中的d构形就是一个类赫渥特图型的构形，这个构形除了有两条连通且有两个相交顶点的特点外，又含有一条通过轮沿顶点4和5的环形链C—D。把其相反色链A—B分成了两个不连通的部分。这时可从两连通链的任一个相交顶点交换A—B链，均可使A—C和A—D链变得不连通，成为一个含有两个同色的、两条连通且只相交一次的坎泊构形，一定是可约的。则这个构形也一定是可约的，如图10。

这个构形与图9，a的构形不同之处，就是这里有一条通过轮沿顶点4和5的环形链C—D，把其相反链A—B分成了两个不连通的部分；而图9，a的构形则是有一条通过轮沿顶点1，2，3和轮外的、又是两连通链的相交顶点8的环形链A—B，把其相反色链C—D分成了两个不连通的部分。由于有这样的不同，所以一个才是能够同时移去两个同色B的坎泊构形，而另一个则不能同时移去两个同色B的类赫渥特图型的构形。
2、米勒图构形：
米勒图构形如图11，a。图中分别有A—B和C—D环形链各一条，也分别有A—B和C—D直链（道路）各一条。但C—D链的环形链部分却不经过轮沿顶点4和5，A—B链的环形部分也不经过轮外的、两连通链的相交顶点8。既不同与图10的赫渥特构形，也不同于图9，a的非类赫渥特图型的构形。着色时，既不能同时移去两个同色，也不能分别交换两条A—B链，使构形变型；而只能交换任一条C—D链，使原来连通的A—C和A—D分别变得不连通（断链），使构形变成坎泊构形，如图11，b。图11，b是从顶点4（或5）交换C—D链的结果，若从顶点6（或7）交换C—D链，也可得到同样的结果——坎泊构形。

3、张彧典和雷明的构形：
以上的图10和图11中都有环形链，是不是存在没有环形链，如图9，a和图9，b那样的构形，A—B链和C—D链都是直链（道路），但又不能同时移去两个同色B的构形呢。我在张彧典先生第八个构形的启发下，构造了四个构形，如图12。图12，a中有经过轮沿顶点4和5的C—D环形链，显然是一个赫渥特图型的构形，交换任一条A—B链都可以使构形变成坎泊构形；图12，b中有一条含有两条连通链的相交顶点8的A—B环形链，是一个类米勒图的构形，交换任一条C—D链都可使构形变成坎泊构形。

图12中只有图12，c和图12，d两图，既不能同时移去两个同色B，也不能通过交换A—B或C—D链使构形变型。怎么办，只有先通过一次“颠倒”，先移去一个同色B，使构由BAB型变成DCD型或CDC型，再看图是属于那一种构形，再用各构形的独特方法去进行解决。由于图12，c和图12，d两图是左右对称的，所以我们只对其一个进行变型。对图12，a从顶点1进行逆时针颠倒后，变成一个可以同时移去两个同色D的DCD型构形，即与图9，b或图9，c相同的构形，是一个非类赫渥特图型的构形；而对图12，a从顶点3进行了顺时针颠倒后，则变成一个形如图9，d和图10，a的CDC型的含有通过5—轮两个轮沿顶点的A—B环形链的赫渥特图型的构形，再按赫渥特图型的构形去解决。总之，无论怎么颠倒都是可以给待着色顶点V着上图同已用过的四种颜色之一的。这里也就不再画图了，请读者自已动手画一下吧，一定会有益处的。
4、两对可以相互转化的构形：
在着色过程中，我们发现图9，b（或图9，c）的非类赫渥特图型的构形与图9，d(或图10，a)的赫渥特图型的构形是可以相互转化的，很可能赫渥特就是陷入了这个相互转化的无限循环的陷阱之中了；另外我们还发现了米勒图构形和赫渥特图型构形也是可以相互转化的，也很可能米勒等人也同样是陷入了这样一个相互转化的无限循环的陷阱之中了，才放弃了他们最初企图用“颠倒”的方法解决四色问题的想法。
5、张彧典先生Z构形的着色：
张先生的Z1，Z2，Z3，Z4构形，只有Z1是属于赫渥特图型构形，其他三个（Z2，Z3，Z4）都属于米勒图构形。这四个图的解法与赫渥特图型构形与米勒图构形是相同的。
6、还有没有类赫渥特图型的构形？
按上面的分析，各种情况都要有了。除了两条连通且有两个相交顶点的链外，对分别有A—B、C—D环形链的构形，两环形链同时有的构形，没有任何环形链的构形等这四种情况的构形，都进行了讨论，他们都是可约的，应该说考虑已很周到了。应该说再也没有类赫渥特图型的构形了。如果再没有了，那么四色猜测也就被证明是正确的了，否则，四色猜测还仍是猜测。因此，我仍然主张用不画图不着色的方法对四色猜测去进行证明。


雷  明
二○一六年七月十二日于长安

注：此文已于二○一六年七月十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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