圆锥曲线的一个性质

ccmmjj

如图，ＡＣ、ＡＤ及ＢＥ、ＢＦ分别切圆Ｏ于Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ。ＣＥ、ＤＦ交于Ｇ，ＣＦ、ＤＥ交于Ｈ。求证：Ａ、Ｂ、Ｇ、Ｈ是一条直线。
如果可以的话，求出它们的交比（ＡＢ，ＧＨ）

ccmmjj

这是我昨晚想另一问题时睡觉中想到的。我想可能是射影几何中的老问题。谁会证明？谁找得到相关资料？

ccmmjj

这个结果可以推广到球面切线。立体图画不来，大概是这样的：
球Ｏ外两点Ａ、Ｂ，分别向球面引相交的两切线，切点分别是Ｃ、Ｄ。那么直线ＡＢ与直线ＣＤ的交点是确定的两点Ｅ或Ｆ。满足（ＡＢ，ＥＦ）＝－1。
陆老师不在，有谁能解决这个问题呢？哪里有相关资料？

Ysu2008

睡觉也在想？好用功啊。

Ysu2008

睡觉也在想？好用功啊。

ccmmjj

Ysu2008 发表于 2016-7-22 04:56
睡觉也在想？好用功啊。

想数学题是我催眠的方法。比数羊羊好用多了。

luyuanhong

Pacal(帕斯卡)定理说：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，那么它的三对对边的交点共线。

将 C 点看作是分开的两点 C 和 C' ，将 D 点看作是分开的两点 D 和 D' ，CC'EDD'F 就是一个圆锥曲线内接六边形，
  
CC' 与 DD' ，C'E 与 D'F ，CF 与 DE 就是三对对边，A,G,H 就是三对对边的交点，由 Pascal 定理可知，A,G,H 三点共线。

现在让 C' 趋于 C ，让 D' 趋于 D ，CC' 成为过 C 点的切线，DD' 成为过 D 点的切线，A 点成为两条切线的交点。

因为原来 A,G,H 三点共线，由连续性可知，这样取极限后，A,G,H 三点必定仍然共线。

同理，可证 B,G,H 三点共线。

ccmmjj

luyuanhong 发表于 2016-7-23 15:34
Pacal(帕斯卡)定理说：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，那么它的三对对边的交点共线。

将 C 点看作是 ...

陆老师回来啦？帕斯卡定理用得好！这样证明了四点共线，三线共点。关于交比（ＡＢ，ＧＨ）=-1。这是可以想见的。至于它在立体球上的推广，那是我的洞察，其实立体上的射影几何，我也没学过。不知道陆老师有没有相关材料可以推荐？

luyuanhong

ccmmjj 发表于 2016-7-24 02:46
陆老师回来啦？帕斯卡定理用得好！这样证明了四点共线，三线共点。关于交比（ＡＢ，ＧＨ）=-1。这是可以 ...

我现在还在加拿大，没有回到中国。上面的解答是用手机打出来的。