连续素数的相邻间距为定值的素数丛

天山草

问题的提出：
先看下面这些数据，有 18 个连续的素数，它们恰好构成 9 对孪生素数：
170669145704411，170669145704413；
170669145704501，170669145704503；
170669145704507，170669145704509；
170669145704591，170669145704593；
170669145704639，170669145704641；
170669145704669，170669145704671；
170669145704747，170669145704749；
170669145704807，170669145704809；
170669145704819，170669145704821。

找出 9 对孪生素数不是事，但是如果要求它们是连续的 18 个素数，那就困难了。所谓连续素数，就是素数的序号是连续的自然数。例如第 1 个素数是 2，第 2 个素数是 3，……，第 25 个素数是 97。  这些是 100 以内的素数。注意到，其中有 4 个连续的素数很有趣，就是编号为 5，6，7，8 号的这四个：11，13，17，19。它们构成了两对孪生素数。比 100 稍大的还有 101，103，107，109。这也是四个连续素数，它们构成两对孪生素数。老外称它们为【孪生素数丛】。“丛” 即是多的意思，那么能多到多少呢？据说，目前发现的最大的孪生素数丛由 9 对孪生素数组成，就是本文开头列出的那个。
问题来了：是否存在更大的孪生素数丛？ 比如由 20 个连续素数构成的 10 对孪生素数丛（以下简称为 10 家村）？ 有没有百家村，甚至千家村？
另一个问题是，相邻间距是 4 的素数丛是否也有类似的情况？相邻间距是 6 的呢？
这些问题，估计老外早有人研究过，因为上面那个 9 家村，就是本网站一位叫柳林的网友提供的，据他说这数据来自外国人。但是老外具体研究到了什么程度，有哪些结论或猜想，我不清楚。期待有了解的网友讲一下哈。   

天山草

孪生素数丛，两家村的，多了去啦。例如小于 10 亿的两家村共有 218241 组，最小的一组是 11，13；17，19 这个，接下来是 101，103；107，109 这组。10 亿以内最大的是： 999994649，999994651； 999994691，999994693。

孪生素数丛，三家村的，也很多，但是比两家村要少。小于 10 亿的三家村共有 14986 组，最小的一组是 179，181； 191，193；197，199 这个，10 亿以内最大的三家村是： 999970667，999970669； 999970679，999970681； 999970691，999970693 。

孪生素数丛，四家村的，小于 100 亿（注意，不是 10 亿哈）的共有 5433 组。

孪生素数丛，五家村的，小于 1000 亿（注意，不是 10 亿哈）的共有 1501 组。

孪生素数丛，六家村的，小于 1000 亿的共有 75 组。

孪生素数丛，七家村的，小于 2000 亿的共有 6 组。

孪生素数丛，八家村的，据说世界上目前只找到一组（以下数据是柳林网友从国外网站得来）：
1107819732821，1107819732823；
1107819732911，1107819732913；
1107819732917，1107819732919；
1107819732947，1107819732949；
1107819732959，1107819732961；
1107819732977，1107819732979；
1107819733037，1107819733039；
1107819733061，1107819733063。

孪生素数丛，九家村的，据说世界上目前也只找到一组，就是主贴中列的那个。

天山草

下面说说相邻间距是 4 的连续素数丛。

在 2000 亿以内，七家村，共找到 5 组，它们是——

第一组：
14865673633，14865673637；
14865673657，14865673661；
14865673699，14865673703；
14865673717，14865673721；
14865673729，14865673733；
14865673747，14865673751；
14865673759，14865673763。

第二组：
32708548933，32708548937；
32708548993，32708548997；
32708549047，32708549051；
32708549053，32708549057；
32708549143，32708549147；
32708549173，32708549177；
32708549239，32708549243。

第三组：
128433097567，128433097571；
128433097603，128433097607；
128433097669，128433097673；
128433097687，128433097691；
128433097693，128433097697；
128433097753，128433097757；
128433097777，128433097781。

第四组：
135613061119，135613061123；
135613061197，135613061201；
135613061257，135613061261；
135613061263，135613061267；
135613061299，135613061303；
135613061323，135613061327；
135613061329，135613061333。

第五组：
178706126107，178706126111；
178706126113，178706126117；
178706126143，178706126147；
178706126197，178706126201；
178706126227，178706126231；
178706126233，178706126237；
178706126239，178706126243。

天山草

相邻素数间距等于 6 的素数丛，七家村，在 2000 亿以内，有多少呢？我当初想大概只有几个吧，哪知计算下来，居然有 405 丛（家）之多！

2000亿内，相邻间距是 6 的七家村，最小的一家是：

5880031，5880037；
5880041，5880047；
5880053，5880059；
5880067，5880073；
5880103，5880109；
5880137，5880143；
5880163，5880169。

2000亿内，相邻间距是 6 的七家村，最大的一家是：
198905149601，198905149607；
198905149631，198905149637；
198905149643，198905149649；
198905149673，198905149679；
198905149711，198905149717；
198905149727，198905149733；
198905149763，198905149769。

天山草

2000 亿以内，相邻间距为 6 的八家村，有 44 家。

最小的一家是：
17804993，17804999；
17805017，17805023；
17805031，17805037；
17805083，17805089；
17805091，17805097；
17805113，17805119；
17805143，17805149；
17805157，17805163。

最大的一家是:
196966037351，196966037357；
196966037377，196966037383；
196966037417，196966037423；
196966037441，196966037447；
196966037453，196966037459；
196966037461，196966037467；
196966037473，196966037479；
196966037491，196966037497。

天山草

2000 亿以内，相邻间距为 6 的九家村，只有 4 家。

第一家：
368187943，368187949，
368187971，368187977，
368187997，368188003，
368188021，368188027，
368188033，368188039，
368188043，368188049，
368188063，368188069，
368188081，368188087，
368188097，368188103。

第二家:
3944222567，3944222573，
3944222587，3944222593，
3944222641，3944222647，
3944222663，3944222669，
3944222671，3944222677，
3944222693，3944222699，
3944222707，3944222713，
3944222797，3944222803，
3944222833，3944222839。

第三家：
6519095747，6519095753，
6519095767，6519095773，
6519095777，6519095783，
6519095813，6519095819，
6519095831，6519095837，
6519095851，6519095857，
6519095881，6519095887，
6519095911，6519095917，
6519095923，6519095929。

第四家：
48301574501，48301574507，
48301574561，48301574567，
48301574591，48301574597，
48301574611，48301574617，
48301574647，48301574653，
48301574687，48301574693，
48301574701，48301574707，
48301574723，48301574729，
48301574753，48301574759。

天山草

2000 亿以内，相邻间距为 6 的十家村，不存在。

也就是说，想找到相邻间距为 6 的十家村，只能在大于 2000 亿的素数中去寻找。

本人只有大到 2000 亿的素数表，更大的还没有下载，因为电脑硬盘不够大。普通百姓的计算机，能力很有限呀。

天山草

0-2000亿内相邻素数的间距分布情况

间距        组数              相对数量
  k            n(k)               n(k)/n(2)
--------------------------------------------------------
   2       424084653     1.00000000000 【以孪生素数的间距 2 为基准，其数量当作 1 份】
   4       424077103     0.99998219695 【在无穷范围，间距为 4 的数量，等于间距为 2 的数量】
   6       774313470     1.82584647787 【间距为 6 的，数量最多】
   8       352435343     0.83104950983
  10      459036417     1.08241695084
  12      611000736     1.44075182084 【间距数有因子 6 的，数量多于其前后的，形成一个峰值】
  14      343889107     0.81089731630
  16      264212068     0.62301728235
  18      491105414     1.15803628008 【间距数有因子 6 的，数量多于其前后的，形成一个峰值】
  20      280961829     0.66251355010
  22      239587722     0.56495258743
  24      376673537     0.88820365070 【间距数有因子 6 的，数量多于其前后的，形成一个峰值】
  26      184597958     0.43528563624
  28      201658885     0.47551563956
  30      379831055     0.89564914060
  32      124436045     0.29342265541
  34      131299571     0.30960698547
  36      221323736     0.52188574718
  38      106980326     0.25226172474
  40      128466589     0.30292675788
  42      198604271     0.46831279933
  44      83443891      0.19676234547
  46      73584223      0.17351305330
  48      130036635     0.30662895740
  50      76513157      0.18041953761
  52      58861522      0.13879663313
  54      100268669     0.23643550478
  56      53680784      0.12658035046
  58      46363391      0.10932579303
  60      100148976     0.23615326631
  62      32908930      0.07759990787
  64      33265366      0.07844039100
  66      63661854      0.15011591094
  68      26988194      0.06363869527
  70      38990789      0.09194105168
  72      41478665      0.09780751250
  74      20666165      0.04873122584
  76      18968121      0.04472720450
  78      36845742      0.08688298843
  80      19622509      0.04627026435
  82      14196670      0.03347602866
  84      30160307      0.07111860046
  86      11275653      0.02658821280
  88      11777865      0.02777243863
  90      24719967      0.05829017114
  92      8612696       0.02030890752
  94      7981859       0.01882138140
  96      14374564      0.03389550624
  98      7755486       0.01828758939
  100     8195852       0.01932598113
  102     11350996      0.02676587309
  104     5343474       0.01260001738
  106     4720770       0.01113166903
  108     8458205       0.01994461469
  110     5332414       0.01257393769
  112     4211470       0.00993072956
  114     6613118       0.01559386305
  116     2909955       0.00686173145
  118     2860060       0.00674407805
  120     6344011       0.01495930342
  122     2099490       0.00495063895
  124     2143519       0.00505446020
  126     4254324       0.01003178014
  128     1566597       0.00369406671
  130     2168167       0.00511258067
  132     2877944       0.00678624888
  134     1236295       0.00291520806
  136     1161506       0.00273885412
  138     2184766       0.00515172144
  140     1418232       0.00334421911
  142     857679        0.00202242405
  144     1521924       0.00358872690
  146     673807        0.00158885023
  148     725155        0.00170992983
  150     1560908       0.00368065194
  152     522128        0.00123118815
  154     649894        0.00153246291
  156     935151        0.00220510455
  158     399617        0.00094230479
  160     482730        0.00113828689
  162     647980        0.00152794966
  164     318682        0.00075145846
  166     282359        0.00066580811
  168     615357        0.00145102398
  170     309315        0.00072937089
  172     207063        0.00048825865
  174     391253        0.00092258231
  176     185676        0.00043782768
  178     170080        0.00040105200
  180     380189        0.00089649318
  182     154801        0.00036502382
  184     127979        0.00030177701
  186     219194        0.00051686379
  188     93366         0.00022015887
  190     133195        0.00031407644
  192     158084        0.00037276520
  194     73746         0.00017389453
  196     81220         0.00019151837
  198     136810        0.00032260069
  200     71734         0.00016915019
  202     53622         0.00012644174
  204     99698         0.00023508986
  206     42008         0.00009905569
  208     45592         0.00010750684
  210     109296        0.00025772213
  212     28442         0.00006706680
  214     28047         0.00006613538
  216     50234         0.00011845277
  218     23116         0.00005450799
  220     32194         0.00007591409
  222     39137         0.00009228582
  224     21781         0.00005136003
  226     15805         0.00003726850
  228     31405         0.00007405361
  230     17821         0.00004202227
  232     12871         0.00003035007
  234     23538         0.00005550307
  236     9765          0.00002302606
  238     11975         0.00002823729
  240     21605         0.00005094502
  242     7903          0.00001863543
  244     6922          0.00001632221
  246     12784         0.00003014492
  248     5812          0.00001370481
  250     7169          0.00001690464
  252     11041         0.00002603490
  254     4377          0.00001032105
  256     3833          0.00000903829
  258     7573          0.00001785728
  260     4653          0.00001097187
  262     2960          0.00000697974
  264     5943          0.00001401371
  266     2965          0.00000699153
  268     2310          0.00000544703
  270     5201          0.00001226406
  272     1695          0.00000399684
  274     1804          0.00000425387
  276     3162          0.00000745606
  278     1352          0.00000318804
  280     2121          0.00000500136
  282     2256          0.00000531969
  284     1075          0.00000253487
  286     1144          0.00000269757
  288     1670          0.00000393789
  290     1031          0.00000243112
  292     735           0.00000173314
  294     1556          0.00000366908
  296     588           0.00000138652
  298     522           0.00000123089
  300     1282          0.00000302298
  302     414           0.00000097622
  304     424           0.00000099980
  306     751           0.00000177087
  308     434           0.00000102338
  310     427           0.00000100687
  312     547           0.00000128984
  314     235           0.00000055413
  316     237           0.00000055885
  318     411           0.00000096915
  320     239           0.00000056357
  322     235           0.00000055413
  324     293           0.00000069090
  326     145           0.00000034191
  328     132           0.00000031126
  330     310           0.00000073099
  332     92            0.00000021694
  334     116           0.00000027353
  336     199           0.00000046925
  338     99            0.00000023344
  340     102           0.00000024052
  342     152           0.00000035842
  344     64            0.00000015091
  346     56            0.00000013205
  348     118           0.00000027825
  350     67            0.00000015799
  352     49            0.00000011554
  354     70            0.00000016506
  356     35            0.00000008253
  358     21            0.00000004952
  360     72            0.00000016978
  362     21            0.00000004952
  364     29            0.00000006838
  366     36            0.00000008489
  368     20            0.00000004716
  370     13            0.00000003065
  372     28            0.00000006602
  374     19            0.00000004480
  376     14            0.00000003301
  378     23            0.00000005423
  380     19            0.00000004480
  382     14            0.00000003301
  384     20            0.00000004716
  386     12            0.00000002830
  388     8             0.00000001886
  390     23            0.00000005423
  392     5             0.00000001179
  394     5             0.00000001179
  396     11            0.00000002594
  398     9             0.00000002122
  400     2             0.00000000472
  402     11            0.00000002594
  404     2             0.00000000472
  406     6             0.00000001415
  408     4             0.00000000943
  410     4             0.00000000943
  412     1             0.00000000236
  414     8             0.00000001886
  416     2             0.00000000472
  418     2             0.00000000472
  420     5             0.00000001179
  422     0             0.00000000000
  424     0             0.00000000000
  426     1             0.00000000236
  428     0             0.00000000000
  430     0             0.00000000000
  432     1             0.00000000236
  434     1             0.00000000236
  436     0             0.00000000000
  438     2             0.00000000472
  440     2             0.00000000472
  442     0             0.00000000000
  444     3             0.00000000707
  446     1             0.00000000236
  448     0             0.00000000000
  450     1             0.00000000236
  452     0             0.00000000000
  454     0             0.00000000000
  456     1             0.00000000236
  458     0             0.00000000000
  460     2             0.00000000472
  462     0             0.00000000000
  464     1             0.00000000236
  466     0             0.00000000000
  468     1             0.00000000236
  470     0             0.00000000000
  472     0             0.00000000000
  474     1             0.00000000236
------------------------------------------

天山草

由上面表中数据可知，相邻间距为 6 的素数最多，所以其【村落】的数量也最多。

另外，还有一个有趣的问题，就是：

在无穷多范围，间距为 2 的素数数量与间距为 4 的素数数量同样多。这个问题当然是猜想，本人以前在此网站发过贴，其中有详细数据。

天山草

欢迎网友们参与讨论，如果您对这个问题感兴趣的话。