求整数通解 a^2+b^2 = 2 c^2

风花飘飘 · 发表于 2016-7-24 02:11

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elim · 发表于 2016-7-24 05:05

看懂 1 + 1 = 2，也有了吗？

luyuanhong · 发表于 2016-7-24 06:27

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-7-24 06:30 编辑

首先，当 n 是任何正整数时，a=b=c=n 显然都是本题的解。

其次，设 m , n 是两个不相等的整数，则

a=|-m^2+2mn+n^2| ，b=|m^2+2mn-n^2| ， c=m^2+n^2

也都是本题的解。

例如，当 m=2 ，n=1 时，a=1 ，b=7 ，c=5 就是一组解，有 1^2+7^2=50=2*5^2 。

又如，当 m=3 ，n=2 时，a=7 ，b=17 ，c=13 也是一组解，有 7^2+17^2=338=2*13^2 。

elim · 发表于 2016-7-25 06:31

本帖最后由 elim 于 2016-7-24 21:17 编辑

谢谢陆老师的解！以下说明方程只有这种形式的解：

任在深 · 发表于 2016-7-25 09:41

elim 发表于 2016-7-25 06:31
谢谢陆老师的解！以下说明方程只有这种形式的解：

好！
明白无误的解！！

elim · 发表于 2016-7-25 23:15

你也能看懂这个？

elim · 发表于 2016-7-27 01:10

elim · 发表于 2016-7-27 01:14

本帖最后由 elim 于 2016-7-26 11:21 编辑

正整数通解可以从上面的参数化得到。或者由陆老师的解，飘飘的图：

luyuanhong · 发表于 2016-8-1 06:45

楼上 elim 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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