用赫渥特颠倒法证明四色猜测

雷明85639720

用赫渥特颠倒法证明四色猜测
雷  明
（二○一六年八月五日）

所谓赫渥特颠倒就是对5—轮构形从两个同色顶点开始施行的坎泊的颜色交换技术。所谓颠倒就是交换的意思，也即是坎泊的交换技术。米勒在给赫渥特图进行着色时，每一步用的都是从5—构形的两个同色顶点中的一个顶点施行交换的，米勒一开始就把这种交换叫做叫“赫渥特颠倒”。由于5—轮的轮沿顶点中有两个顶点着了同一种颜色，无论从那个同色顶点施行颠到都是可以的，所以就有两种方向的颠倒，逆时针颠倒和顺时针颠倒。选择了某种方向的颠倒后，中途就不能再改变方向了。因为改变了方向的颠倒就成了前一次颠倒的逆过程，图就会返回到原来的图。
1、坎泊构形、赫渥特构形和非赫渥特构形
5—轮构形中无连通链、只有一条链通链和虽有两条连通链但两链只有一个相交顶点的构形叫坎泊构形，即坎泊一八七九年已证明了是可约的5—轮构形。5—轮构形中有两条连通链、且两链有两个以上相交顶点的构形就是非坎泊构形。非坎泊构形中又可根据是否可以同时移去两个同色分为两类，把不能同时移去两个同色的构形叫赫渥特构形，而把可以同时移去个同色的构形就叫非赫渥特构形。因为坎泊构形中也有可以同时移去两个同色的构形，所以我们把除了坎泊构形以外的构形，统一叫做非坎泊构形，而把除赫渥特构形以外的构形，也统一叫做非赫渥特构形。这样就可以把各构形之间的关系用一个维恩图来表示，如图1。

2、5—轮构形颠倒二十次后才能真正的出现循环
米勒认为他的图（米勒图，是一个5—轮构形），逆时针颠倒四次后就出现了循环，张彧典先生认为5—轮构形颠倒八次后才能出现大循环。但他们所谓的出现了循环都不是真正意义上的循环。真正意义上的循环，应是不但构形的类型出现循环，而且5—轮轮沿上的顶点所着的颜色，也要同时出现循环。而他们的图却不管是四次颠倒，还是八次颠倒，5—轮的轮沿顶点所着的颜色都没有返回到最初时所着的颜色，只是“双×夹×型”返回到了最初的状态（可见张先生《探秘》一书中的图5.4到5.8与图6.1）。而只有颠倒次数达到二十次（即敢峰先生所说的二十次大演绎）时，才能使“双×夹×型”和5—轮轮沿上的顶点所着的颜色，同时都返回到开始时的最初状态（见本人的《张彧典先生图6.1错误的原因分析及改进建议》一贴中的图1，网址是：或见“雷明的博客”。
3、任何5—轮构形的颠倒次数都是不大于二十次的
①  坎泊构形的颠倒次数分析
尽管坎泊构形已经证明是可约的，但我们在分析5—构形的颠倒次数时，还是把坎泊构形一起再进行析分一下。

图2是对有一条A—C连通链的构形施行逆时针颠倒的过程，图3是对有一条A—C连通链的构形施行顺时针颠倒的过程，图4是对有一条B—D连通链的构形施行逆时针颠倒的过程，图5是对有一条B—D连通链的构形施行顺时针颠倒的过程，图6是对有两条连通链（但不交叉）A—C和A—D的构形施行逆时针颠倒的过程，图7是对有两条连通链（但不交叉）A—C和A—D的构形施行顺时针颠倒的过程，图8是对有两条连通链B—C和B—D的构形施行两种方向的颠倒的过程。
由于有一条A—D连通链与有一条A—C连通链的情况是一左一右的，也由于有一条B—C连通链与有一条B—D连通链的情况也是一左一右的，所以对有一条A—D连通链和有一条B—C连通链的情况也就不再画图说明了。

从对坎泊构形的颠倒次数的分析看，坎泊构形无论是施行逆时针颠倒，还是施行顺时针颠倒，最多只要施行三次颠倒就出现了构形循环的问题。这种循环不同于米勒与张彧典先生所说的循环，这种循环是在相同的几个顶点间随着颠倒的施行，构形类型在两种类型间交替变化的循环。这种构形必须在出现循环之前把问题解决，即空出颜色给待着色顶点着上。出现构形循环现象的原因是，因为施行颠倒时是交换了一条连通链。构形中既然有连通链，当然就可以空出该连通链的相反色链（链中的两种颜色均与连通链中的两种颜色不同）中的任一种颜色给待着色顶点着上。由于3是远小于20的，这就可以得到所有的坎泊构形都是可约的。
②  非坎泊构形的颠倒次数分析

这种构形中有两条相交两次且连通的链A—C与A—D。图9是一个普通的构形施行逆时针颠倒的过程，图10是赫渥特构形施行逆时针颠倒的过程，图11是一个可以同时移去两个同色的非赫渥特构形施行逆时针颠倒过程。由于这三个构形都是对称图形，施行顺时针颠倒过程时，也一定与以上图9，图10，图11三图相同，所以这里也就不再画图了。图12是一个交换次序有先有后的、可同时移去两个同色的构形施行逆时针颠倒的过程，图13则是图12的构形施行顺时针颠倒的过程。还有一个类似图12和图13的构形，如图12中原构形中的虚线构形，只是关于两个同色B的链左右分布不同，施行颠倒也一定与图12和图13相同，这里也就不画图了。



    从图9到图13可以看出，有两条有两个相交顶点的连通链的构形，无论是施行逆时针颠倒，还是施行顺时针颠倒，也最多是施行三次颠倒就出现了构形循环的问题。产生循环的原因，也是因为以后的颠倒交换的是连通链。有了这一连通链，一定能交换其相反色链，也一定能空出颜色给待着色顶点的。因此，这一类构形也都是可约的。

从图13我们同样能够看到，上左图的原构形与图10的上左图构形是可以相互转化的。这与我们以前得出的结论是相同的。对图13的原构形施行了一次顺时针颠倒后，就是一个图10上左图的构形。图10的构形施行三次颠倒，构形开始循环，加上这里已施行过的一次颠倒，就得到图13的构形施行四次颠倒后构形开始循环。而图10的构形在颠倒了一次后也就得到了图12和图13的原构形。这里图12施行了二次颠倒后出现构形循环，加上图10已施行过的一次颠倒，也就得到图10的构形施行三次颠倒后构形开始循环。
从图13还可以看出图10与图12（或图13）的主要区别是：图12或图13的构形中没有环形链，由“双×夹×型”的两种颜色组成的链和其他两种颜色组成的链都是直链（一条道路），而图10的构形中却有由非“双×夹×型”的两种颜色组成的环形链，这就是最大的区别。同时还可以看出图12或图书13与图11的最大区别是：图11中有由“双×夹×型”的两种颜色组成的环形链，而图12和图13中却是没有的。图10的构形是赫渥特构形，它是不能同时移去两个同色B的构形；图11，图12和图13的构形都是非赫渥特构形，它们都是可以同时移去两个同色B的。
从以上的分析还可以告诉我们，如果出现了要施行颠倒的链是连通链时，就不能继续的颠倒下去了，这时构形的待着色顶点是一定能够着上该连通链外的两种颜色之一的。
③  十五点形的颠倒次数分析
图14是类赫渥特图类型的构形的颠倒过程，因该构形是对称的，只作了一个逆时针颠倒；图15是类米勒图类型（为什么是类米勒图型的，后边将会说明）的构形的颠倒过程，也是只作了一个逆时针颠倒；以上两构形中都要有一种环形链，图14中C—D链是环形的，图15中A—B链是环形的；图16和图17是没有任何环形链的构形的颠倒过程，一个是逆时针颠倒，一个是顺时针颠倒。

另外，从图14和图17还可以看出有由非“双×夹×型”的两种颜色组成的环形链的构形，与无任何环形链的构形是可以相互转化的。从图15和图16（或图17）还可以看出，同样是存在着有由“双×夹×型”的两种颜色组成的环形链的构形，在图11中是可以同时移去两个同色B的构形，而在图15中却是不能同时移去两个同色B的构形；同样都是无任何环形链的构形，在图12或图13中是可以移去两个同色B的构形，而在图16或图17中却也是不能同时移去两个同色B的构形。
从以上的分析中以看出，十五点形的构形，无论是施行逆时针颠倒，还是施行顺时针颠倒，最多经过三次颠倒就可以出现构形循环的问题，构形是可约的。


④        米勒图与敢峰演绎图的颠倒次数分析
    图18是米勒1992年构造的米勒图，图19是敢峰先生1992年用演绎法构造的“二阶图N”，表面看是不同的，实质上是相同的图，是同一个构形，只是因为图是可拓扑的，仅是不同的画法而已。在这里笔者画成不同的形状，主要是为了保持原图的最初状态。这样的两个图（其实是同一个图）无论是施行二十次逆时针颠倒或大演绎，还是施行二十次顺时针颠倒或大演绎，都会返回到最初的状态，各顶点所着的颜色与开始时完全相同。说明这种构形用颠倒法或是演绎法是不能解劝决问题的（如何解决，后边再说）。


4、米勒图与敢峰演绎图的可约性
我们前面已经知道，虽然各种5—轮构形都可以通过连续的施行颠倒来进行着色，但又都有自已的特殊着色办法。如图10的赫渥特构形（H—构形），以及图14的类赫渥特图型的构形（类H—构形），其中都有一条通过5—轮的顶点4和5两个顶点的C—D环形链，把A—B链分隔成环内环外互不相邻的两部分，交换任一部分的A—B链，都可使构形变成无任何连通链的坎泊构形，待着色顶点可着四种颜色中的任何一种，如图20。

图11和图12都是可以同时移去两个同色B的构形，图11交换关于两换个B的链是随意的，而图12交换关于两换个B的链却是有先后顺序的。图12中实线图先交换1B—7D，而虚线图则要先交换3B—6C。图15的构形虽然也有与图11的构形相同环形的A—B链，但却不能同时移去两个同色B。但图11的构形除了同时移去两个同色B外，又与图15因为其中都有一条环形的A—B链，把C—D分隔成了环内环外互不相邻的两部分，却都可以交换任一部分的C—D链，也使构形变成有两条连通链、但只有共同起始顶点并无交叉顶点的坎泊构形，如图21。
米勒图与敢峰演绎图中同样也有环形的A—B链，也把C—D链分隔成了互不邻的两部分，那么交换任一部分C—D链时，也应该使构形变成有两条连通链、但只有共同起始顶点并无交叉顶点的坎泊构形，的却也是如此，如图22和图23。现在看来米勒与敢峰的图都是可约的。正因为如此，我才把米勒图和敢峰图与图11的非H—构形认为是同一类，都是具有“双×夹×型”两种颜色的环形链的构形。


同时我们还注意到，米勒图和敢峰图在进行了一次颠倒后，就会变成赫渥特图型的构形，其中也有通过5—轮轮沿两个顶点的非“双×夹×型”两种颜色的环形链，把“双×夹×型”的两种颜色构成的相反链分隔成了互不相邻的两部分，用与解赫渥特图相同的方法——交换环形链内或链个的任一部分相反链，都可以使构形变成坎泊构形而得解，如图24和图25。同时我们还可以看到，对米勒图和敢峰图再继续施行第二次颠倒时，图又会变成米勒和敢峰图构形，以后再继续施行颠倒，图都会在米勒和敢峰图构形与赫渥特构形之间进行交叉变化，但变化后的每一种构形都是可约的。

还要说明一点的是，图16和图17虽然与图12和图13都是无任何不形链的构形，但图16和图17却不能象图12和图13那样可同时移去两个同色B，而必须使用颠倒法。前面我们已经对其进行了颠倒，说明图16和图17的构形是可约的。主要原因是图16和图17的顶点数较多，从顶点交换了B—D链后，能产生从顶点3到顶点5的连通链B—C，若从顶点3交换了B—C链以后，也会产生从顶点1到顶点4的链通链B—D，这就使图成为一个不可同时移去两个同色B的构形了。得要用特殊的方法进行处理，这就是颠倒法。到现在为止，就只遇到了这样一个构形的图是非得用颠倒法解决是不行的。


到现在为止，我们还没有发现用颠倒法解决问题时，颠倒次数超过二十次的，再加上赵倒次数达到二十次时，图就完全反回到原来开始时的状态，各顶点所着颜色均与初始状态完全相同，所以可以得出结论，任意平面图着色时，其颠倒次数是不会大于二十次的。


5、关于两连通链有两个以上相交顶点的构形
“论图1943”朋友提出了两条连通链有两个以上相交顶点的构形的问题，我只能这样来回答：它是不会影响着色方法的。如图26的三个构形（即图18，图10，图14的三个构形），都是类赫渥特图型的构形，都有通过5—轮轮沿两个顶点的非“双×夹×型”两种颜色的环形链，但其两条连通链的相交顶点数目却不相同。其解决的办法（着色的方法）却是相同的，即都是交换非“双×夹×型”两种颜色的环形链内、外的任一条与非“双×夹×型”两种颜色环形链相反的色链，而使构形变成坎泊构形的。

6、四色猜测是正确的
①　任何5—轮构形的颠倒次数都是不会大于20的；
②  纯5—轮不需用颠倒，其颠倒次数是0，也是小于20的；
③  任何5—轮构形，在施行了有限次（小于20）的颠倒后，再施行颠倒时，实际上是在交换一条连通链；
④  有连通链，就可以交换被连通链所分隔开来的任一部分由另外两种颜色构成的相反色链，空出相反色链中的一种颜色给待着色顶点着上；
⑤　除了无任何环形链且不能同时移去两个同色的5—轮构形必须用颠倒法进行着色外，其他的任何5—轮构形都还有自已的单独的着色方法；
⑥　以上的任何5—构形都是可约的，加上坎泊已证明了的可约构形，说明了任何平面图的色数都是小于等于4的；
⑦　到此也就证明了平面图的四色猜测是正确的，当然也就证明了地图四色猜测也是正确的。

雷  明
二○一六年八月五日于长安

注：此文已于二○一产年八月九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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