已知在 ΔABC 中，∠A=θ 和内切圆半径 r 为定值，求 ΔABC 周长的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

angel_phoenix88

b+c＝a+2r
b＋c－a=2r
定义外接圆半径为R
2RsinA=a
a+b＋c=2a+2r＝4RsinA＋2r
周长的最小值与外接圆半径最小值对应
2r=2R(sinB+sinC-sinA)=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)
原题转化为A为定值时，sinB+sinC－sinA最大值为多少(等价于sinB+sinC取最大值)
sinB+sinC=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)
很显然B=C时,sinB+sinC-sinA的最大值为2cos(A/2)-sinA
此时2R=2r/(2cos(A/2)－sinA)

angel_phoenix88

b＋c－a=2r
定义外接圆半径为R
2RsinA=a
a+b＋c=2a+2r＝4RsinA＋2r
周长的最小值与外接圆半径最小值对应
由于2R(sinB＋sinC－sinA)＝2r
原题转化为A为定值时，sinB+sinC－sinA最大值为多少(等价于sinB+sinC何时取最大值)
sinB+sinC=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)≤2cos(A/2)
很显然B=C时,sinB+sinC-sinA的最大值为2cos(A/2)-sinA
此时2R=2r/(2cos(A/2)－sinA)
a＋b+c最小值4rsinA/((2cos(A/2)-sinA)+2r＝2r(sin(A/2)/(1-sin(A/2))＋1)＝2r/(1-sin(A/2))

angel_phoenix88

最小值4rsinA/((2cos(A/2)-sinA)+2r＝2r(2sin(A/2)/(1-sin(A/2))＋1)＝2r(1+sin(A/2))/(1-sin(A/2))

luyuanhong

楼上的推导一开始说有  “b+c-a=2r” ，此式对普通的三角形来说，显然不成立。

例如，设 a=b=c=2 ，三角形是边长为 2 的正三角形，这时内切圆半径 r=√3/3 ，

显然 b+c-a=2+2-2=2≠2√3/3=2r 。

angel_phoenix88

没考虑周全，r(a+b+c)=4R∧2sinAsinBsinC
r=tg(A/2)(b+c-a)/2

angel_phoenix88

a+b+c＝2a+2rctg(A/2)

a=2RsinA=2rctg(A/2)*sinA/(sinB+sinC－sinA)
在给定A情形下，求a最小值
B=C时取得

圆海一傻

您是研究三角的大师！麻烦帮我看下这两张图为什么！

圆海一傻

更震撼的来了！