求有限项级数之和 ∑(k=1,20)k(k+1)(k+2)(k+3)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天山草

我来个笨办法试试哈。

   先求出该数列前 7项的值 ：
   a1=1×2×3×4=24,  
   a2=2×3×4×5=120,  
   a3=3×4×5×6=360,  
   a4=4×5×6×7=840,  
   a5=5×6×7×8=1680，  
   a6=6×7×8×9=3024，
   a7=7×8×9×10=5040，
  
   作差分：120-24=96，  360-120=240，  840-360=480， 1680-840=840，  3024-1680=1344， 5040-3024=2016.
                 240-96=144，  480-240=240， 840-480=360， 1344-840=504， 2016-1344=672.
                 240-144=96，  360-240=120，  504-360=144，  672-504=168.
                 120-96=24，  144-120=24，168-144=24.

   可见，原数列是一个四阶等差数列。四阶等差数列的前 n 项和的公式为
   Sn = a5×n^5+a4×n^4+a3×n^3+a2×n^2+a1×n^1.
   其中 a1,a2,a3,a4,a5 是待定系数。
           由于  S1 = a5×1^5+a4×1^4+a3×1^3+a2×1^2+a1×1^1 = 24，
                    S2 = a5×2^5+a4×2^4+a3×2^3+a2×2^2+a1×2^1 = 24+120=144，
                    S3 = a5×3^5+a4×3^4+a3×3^3+a2×3^2+a1×3^1 = 144+360=504，
                    S4 = a5×4^5+a4×4^4+a3×4^3+a2×4^2+a1×4^1 = 504+840=1344，
                    S5 = a5×5^5+a4×5^4+a3×5^3+a2×5^2+a1×5^1 = 1344+1680=3024。
           解上述方程组，求出：a1=24/5, a2=10, a3=7, a4=2, a5=1/5。
           所以 Sn=(24/5)n+10n^2+7n^3+2n^4+(1/5)n^5=n (1 + n) (2 + n) (3 + n) (4 + n)/5。
           
           这样就求出 S20=20×21×22×23×24/5=1020096。

天山草

对上述笨办法稍改进一点，不知对不对哈。

   由于原数列的通项公式是 an=n(n+1)(n+2)(n+3)，这是一个四次多项式，所以原数列就是一个四阶等差数列。

   而四阶等差数列的前 n 项和的公式是一个没有常数项的五次多项式，即
   Sn = a5×n^5+a4×n^4+a3×n^3+a2×n^2+a1×n^1.
   其中 a1,a2,a3,a4,a5 是待定系数。
           由于  S1 = a5×1^5+a4×1^4+a3×1^3+a2×1^2+a1×1^1 = 24，
                    S2 = a5×2^5+a4×2^4+a3×2^3+a2×2^2+a1×2^1 = 24+120=144，
                    S3 = a5×3^5+a4×3^4+a3×3^3+a2×3^2+a1×3^1 = 144+360=504，
                    S4 = a5×4^5+a4×4^4+a3×4^3+a2×4^2+a1×4^1 = 504+840=1344，
                    S5 = a5×5^5+a4×5^4+a3×5^3+a2×5^2+a1×5^1 = 1344+1680=3024。
           解上述方程组，求出：a1=24/5, a2=10, a3=7, a4=2, a5=1/5。
           所以 Sn=(24/5)n+10n^2+7n^3+2n^4+(1/5)n^5=n (1 + n) (2 + n) (3 + n) (4 + n)/5。
           
           这样就求出 S20=20×21×22×23×24/5=1020096。

           【注】猜测：
              an=n(n+1)(n+2)(n+3)……(n+m) 的前 n 项和公式是  Sn=n (n+1) (n+2) (n+3)…… (n+m+1)/(m+2)。
                     特别是当 m=0 时，an=n 的前 n 项和公式是  Sn=n (n+1)/2。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

后面的猜测也是对的，可以用数学归纳法证明。

天山草

楼层的次序怎么颠倒了？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：