介绍一个任意四边形的面积公式

天山草

这个公式来源于莫斯科某个数学继续教育中心。经验证这个公式完全正确。不知如何证明 ？ 特别是如何使用机器证明 ？
如果四边形有内切圆（注意，不是外接圆哈），公式中的第二项分子将为零（因对边和相等），只剩下第一项。
如果四边形有外接圆（对角和相等，都等于 180 度），这公式可简化为 11 楼的样子。

天山草

公式中的 cot 函数表示余切，tan 表示正切。以前是用 ctg 表示余切，用 tg 表示正切的。

天山草

这个公式被称为针对机器证明的 “俄罗斯杀手”。意思中使用机器证明的方法很困难。但是用普通几何方法证明并不难。

ccmmjj

如果是圆接四边形的话，有一个很简单的面积公式。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

天山草

当任意四边形的其中一边长度趋近于零时，有一个角度就趋近于 180 度，这时得到三角形的面积公式如下。
当然，这个三角形公式容易另行证明：

天山草

能参考上楼的思路来证明主楼的那个俄罗斯公式吗？

天山草

俄罗斯任意四边形面积公式，也适用于任意的凹四边形：

天山草

将上楼那个凹四边形分成两个三角形（连接 AC），面积用底乘高之半公式计算，结果与俄罗斯公式计算相同。

天山草

另换一组数据计算，结果仍正确：