三角形 ABC 内有一点 D ，使 ∠DBC=∠DCA=∠DAB=30°，求证：ΔABC 是正三角形

ccmmjj

这个题目也是很有意思的，不知道谁有兴趣。

如下图，三角形ABC内有一点D，使角DBC＝DCA＝DAB＝30度，求证ABC是正三角形。

天山草

好像这种点叫布洛卡点。网上搜了一下，结果如下：

天山草

楼主的问题相当于：
      布洛卡角等于 30 度的三角形必是正三角形。
      命题对不对呢？不知道呀。还得想一想。

天山草

网上搜到的一个证明。见证明的推论。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 和 天山草 的帖子很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我从网上找到的另一种证法：

ccmmjj

唉，这些都是网络上的有的，纯几何证明不是谁都喜欢的。

ccmmjj

纯几何好。
证明：因为只与形状有关，不妨固定BD在其一侧作对BD圆周角为30°的圆O，那么A点必在此圆上。C点在使 ∠DBC＝30°的射线上。当然，包括正三形ABC。且三角形OBD是一正三角形。
此时不难证明BC切圆于B，OB⊥BC。ODC三点共线。假设存在非等边三角形A'BC'满足题目条件，不妨假设BC'<BC，于是由∠A'C'D＝30°知道A'当在射线l上，由∠DA'B＝30°知A'当在圆O上。现在只要证明l与圆O无交点就可以了。于是只要证明O到 l 的距离大于半径OB即可，这只要证明OC与 l 夹角α大于∠OC‘B就可以。由于C'在B、C之间，所以DC'<OD，于是∠DC'O>∠DOC'.得30°+∠DC'O>30°+∠DOC'即α>∠OC‘B.即无交点A'。
BC'>BC情况类似。

任在深

求证：
       设在三角形内D点构成三个角，∠X,∠Y,∠Z.
         ∠A=30°+a°,∠B=30°+b°,∠C=30°+c°
       1.因为平面角的和是：
                      （1）∠X+∠Y+∠Z=360°,
       2.所以：
                     （2）∠X=180°-(30°+a°)
                     （3） ∠Y=180°-(30°+b°)
                     （4） ∠Z=180°-(30°+c°)
       因此：
                    （5）180°-（30°+a°）+180°-(30°+b°)+180°-(30°+C°)=360°
       由（5）式可知：
          （6）3[180°-(30°+a°)]=360°
                  a=180°-120°-30°
                    =30°
      由题意可知：
            当仅当： a°=b°=c°=30°, 否则题意不成立！
      因此 ∠A=∠B=∠C=30°+30°=60°, ΔABC是正三角形。
            
                            证毕。


           欢迎老师教授提出宝贵意见，不知用结构数学的方法可证否？
                       

                                                                                                   谢谢！
                                                                                                         （对不起！各位老师，教授！不知何因，俺的证明跑上面去了？）

hui

看到楼主发的答案,我想到了一个类似的方法.同样的固定BD在其一侧作对BD圆周角为30°的圆O，那么A点必在此圆上。   设点B'为BC上的任意一点。 因为∠DBC=∠DAB=30°,所以由弦切定理可知BC切圆O于点B。 因此∠AB'D≤∠ABD,则当点B'于点C重合时有∠ACD≤∠ABD,由此可知∠ABD≥30°.同理可得∠BCD≥30°,∠CAD≥30°。所以∠ABD+∠BCD+∠CAD≥90°。
又因为180°-∠DCB-∠DBA-∠DAC=∠ABD+∠BCD+∠CAD=90°
所以∠ABD=∠BCD=∠CAD=30°，即三角形ABC是正三角形。

黑白相间

:o:o:o:o感觉好复杂