|
|
偶尔在网上看到欧阳耿“康托实数集合不可数证明是错误的”观点的讨论，很有意思，在此全文下载。
http://news.66163.com/2010-09-01/445936.shtml
站在世界数学家大会讲台上的英语教授欧阳耿
发表时间：2010-09-01 来源：漳州新闻网 发表评论 进入论坛
镜头：8月22日下午6时40分，在印度海德拉巴市举行的第26届世界数学家大会上，作为特邀报告人，来自漳州师院外语系的欧阳耿副教授走上讲台，做了一场题为“康托实数集合不可数证明中的四种错误与数学基础理论的缺陷”的专题讲座。在15分钟的时间里，欧阳耿用一口流利地道的英语，详细地论证了康托在实数集合不可数证明过程中所犯的错误，并论证康托在该证明过程中所犯错误与数学基础理论中缺陷的密切关系。
世界数学家大会是国际数学界规模最大、水平最高的盛会，每四年召开一次。被邀请为大会特邀报告人通常被认为是数学家的崇高荣誉，代表着其研究工作得到国际范围的认可。本届大会为期10天，共有来自世界各地150多个国家和地区的2800多名数学专家到会，欧阳耿是漳州市惟一的一位。昨日，笔者约访了欧阳耿，领略了一位英语教授如何与数学结缘的。
英语铁嘴
今年53岁的欧阳耿是漳州人，出生在教师世家，全家曾有12人教书（父母、妻子、六个兄弟姐妹及三个姐夫），实属罕见。
从教28年来，欧阳耿的英语口语在漳州师范学院乃至整个漳州地区都是独树一帜的。他经常应邀到中学、乡镇、公园、郊区开展英语角活动、作报告、开讲座，应邀到市、区、县各类英语口语、英语歌曲竞赛活动中担任评委，人称“英语铁嘴”。欧阳耿尽力为漳州市出国进修、留学的大中学生以及专业技术人员无偿提供英语学习上的帮助。长期以来，他还多次承担漳州市政府外事口译工作，1999年10月为汤加国国王陶法阿豪•图谱四世及代表团承担访问漳州的英汉口译工作。1998年到2007年为福建土楼（南靖和华安部分）申报世界文化遗产承担英汉口译、笔译工作，翻译土楼画册，为报送联合国的福建土楼资料光盘配音。
数学奇人
谈起在数学领域的钻研，欧阳耿笑着说，这都源于在高中时对数学产生的兴趣。尽管大学读的专业是英语，但他从未放下长期以来兴趣的数学，而是在做好外语教学的同时，利用业余时间钻研数学基础理论，探索数学奥秘。在系统研究了与数学基础理论相关的中外哲学、逻辑、方法论等内容之后，他在无穷理论体系、极限论、相对——相等性原理和易经基础理论研究领域颇有建树，提出许多新观点。
而对于“调和级数”发散性问题和集合论中康托在实数集合不可数证明中所存在的错误，他独辟蹊径，成功地将芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族作为数学基础理论中所存在问题的一个“症状群”进行研究，论证了“调和级数”问题与芝诺悖论之间的关系，指出“调和级数”问题是2500多年前芝诺悖论的翻版，并由此提出了自己全新的观点。
文理通才
生活中的欧阳耿同样兴趣广泛，说他是文理通才，一点也不为过。
受母亲的影响，他从小就富有音乐天赋，多次为学校及系里大合唱、独唱手风琴伴奏，为合唱团合唱领唱。不仅如此，他还有很强的体育竞技能力，无论严寒酷暑、刮风下雨，几十年如一日，每天坚持到九龙江游泳。他不仅具有文理兼容的知识结构，还有极强的动手能力。年轻时自学机电维修，从缝纫机、电视机，到钟表、锁具，样样精通。早在上世纪八十年代，电视机是稀罕物，欧阳耿就买来零件自己安装电视，即使是现在，家里若是有东西坏了，也是他自己动手修理的。
通讯员 朱亚圣
共45条点评
我来点评
第 1 楼 匿名人士 发表于:2010-09-09 23:31:52
这是我的大学老师啊！他真的是一个特别了不起的人。
支持(2) 反对(1)
第 2 楼 匿名人士 发表于:2010-10-04 12:30:09
华罗庚的遗憾和丘成桐的失望
今年是华罗庚诞辰100周年，也将会有一定的纪念活动。我国在数学方面有今天这样的水平，是与华罗庚和他的同行在数学研究和数学教育方面所作出的努力是分不开的。为什么要在此提出华罗庚有遗憾呢？这要从80年前华罗庚的成名说起，华罗庚是因写了一篇对苏家驹批评的文章成名的，刊登这篇文章的《科学》杂志也因华罗庚的成名而出了名，只可惜，这80年来人们只知道苏家驹有错，很少有人去分析苏家驹为什么对这类问题感兴趣。
在数学研究中，五次以上代数方程的解和几何三大难题曾经耗去了不少人的心血。在目前世界上公认的结论是：五次以上的一元方程无代数解以及不可能用尺规法作出几何三大难题。这是一个“铁案”，似乎是无案可翻的了。
但是，在很长的时间里，还是有不少的人在试图重新研究五次以上的代数方程的解和几何三大难题。
特别是建国初期，华罗庚也收到了不少的关于讨论几何三大难题的信。华罗庚告诉人们，因为有些人“无知”，所以才继续研究了几何三大难题。华罗庚也为三分角问题作专题写了文章，并且断言：要用尺规法作出任意角的三分之一角就是象步行上月球一样的不可能。在这同时，数学界也作出了相应的约定：不再受理和讨论几何三大难题了。这是很多人应该知道的一段历史。
但是，这个看似解决了的数学问题并没有能阻止一些人去继续研究着几何三大难题，在华罗庚诞辰100周年的2010年的现在，有中山老农刁石胜称破解了世界难题。之后，也有重庆商报王松南记者对李亚明所写的报道，说是：“残疾老农解千古数学难题 演算35年稿纸装11麻袋”。特别有意思的是王松南记者在报道中写的
支持(0) 反对(0)
第 3 楼 匿名人士 发表于:2010-10-07 14:14:50
“而对于“调和级数”发散性问题和集合论中康托在实数集合不可数证明中所存在的错误，他独辟蹊径，成功地将芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族作为数学基础理论中所存在问题的一个“症状群”进行研究，论证了“调和级数”问题与芝诺悖论之间的关系，指出“调和级数”问题是2500多年前芝诺悖论的翻版，并由此提出了自己全新的观点。”
对于报道中这么肯定的口气感到吃惊。欧阳教授关于康托的实数集不可数的否定性批评完全是错误的。具体的说，他轻率地作出好几个错误判断。例如，①他错误地断言，如果假设实数集可数，那么f(Z+)→R是一个近似表示；②在没有弄清楚反证法细节的情况下，把假设得到的结果当成真实结果，然后又据此反过来进行质疑。
支持(2) 反对(1)
第 4 楼 匿名人士 发表于:2010-10-07 15:36:34
据我所知，①是与经典无穷观相关的经典极限论的缺陷使康托错误地用序列（1）和（2）去进行“反证”。②反证法没错而是康托的思路和操作错。
支持(3) 反对(2)
第 5 楼 匿名人士 发表于:2010-10-07 15:45:01
确实，康托是错误使用反证法、错误使用了序列（1）和（2）而导致他的这类证明成了一种典型的数学魔术，使康托将整个证明建立在这种错误的思路与操作上：假如所构造的某个（任意）序列（1）或（2）含有所要证明的无穷集合中的全部元素，则该无穷集合可数；否则该无穷集合不可数。
支持(3) 反对(2)
第 6 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 10:07:57
4楼和5楼显然是欧阳耿本人，过路人是不会知道序列⑴和序列⑵的。你的错误在于混淆了反证法运用过程中推出的矛盾和揭示悖论过程中暴露的矛盾，两者是不相同的。
首先，用反证法所做的论证只需找到一个不属于序列⑴或序列⑵但又属于实数的数就够了，何必找全部这样的数的集合？第二，反证法只要证明序列⑴或序列⑵没有包含全部实数的数就够了，分析序列⑴或序列⑵不该包含Ti属多此一举。不过，如果你不能区分反证法、归谬法与悖论生成之间的差异的话，那是不能理解上述两点的。
支持(2) 反对(0)
第 7 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 10:07:58
4楼和5楼显然是欧阳耿本人，过路人是不会知道序列⑴和序列⑵的。你的错误在于混淆了反证法运用过程中推出的矛盾和揭示悖论过程中暴露的矛盾，两者是不相同的。
首先，用反证法所做的论证只需找到一个不属于序列⑴或序列⑵但又属于实数的数就够了，何必找全部这样的数的集合？第二，反证法只要证明序列⑴或序列⑵没有包含全部实数的数就够了，分析序列⑴或序列⑵不该包含Ti属多此一举。不过，如果你不能区分反证法、归谬法与悖论生成之间的差异的话，那是不能理解上述两点的。
支持(2) 反对(0)
第 8 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 10:28:29
在欧阳耿的文章中，还表现出欧阳耿对悖论发生过程的一知半解。所谓悖论，就是有悖常理；所谓常理，就是公认正确的道理。因此一个悖论的发生应该有如下几个条件：①存在一个或一些公认正确的背景知识（如概括原则）；②根据①能够构造一个命题A（如T={x|x不属于x}；③从命题A可以找到一个命题B（如T属于T）；④设B则可推出非B，设非B则可推出B。结果罗素悖论表明公认正确的概括原则实际上是有问题的，SAP的表述形式是错误的，而SIP和SOP的表述形式才是正确的。正因为SIP为真，才允许公理化集合论的存在，那些仍在大呼罗素悖论已摧毁了整个数学基础的人实在是对逻辑学不甚了了。
支持(2) 反对(0)
第 9 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 10:34:39
我们是否可以从康托论证实数集合不可数的过程中找到类似于上述的悖论发生条件呢？实数集合是否可数在当时并不是一个明显的结论，是一个待证的问题，因此并不存在一个或一些公认正确的背景知识。由于缺乏公认正确的背景知识，因此“假定实数集合可数”（命题A）并不是根据哪一个或哪一些公认正确的背景知识构造出来的。从命题A能够找到的命题B是“从正整数集合到R有一个一一映射”。现在到了的关键点了，我们能通过设B而推出非B，同时设非B而推出B吗？结果，虽然设B真推出了非B，但设非B却不能推出B。因此，康托论证的结果仅仅是否定了命题B，进而否定了命题A，并根据排中律，证明实数集合是不可数的。康托论证不存在什么悖论。
支持(2) 反对(0)
第 10 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 10:47:49
另外，既然假设实数集合可数，那就存在一个“从正整数集合到R有一个一一映射”，而且映射结果序列⑴或序列⑵的性质就已经精确确定了，怎么还会像欧阳耿所说“没有对序列⑴或序列⑵的性质作出具体要求”呢？这是对映射没有完全弄懂造成的误解。
支持(2) 反对(0)
第 11 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 19:49:47
1，似乎这个世界上只有上楼的人和欧阳耿两人知道“序列⑴和序列⑵”，殊不知只要看过欧阳耿文章的人都知道“序列⑴和序列⑵”。
2，我还看过欧阳耿专门讨论芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论的文章，不像楼上说的那么简单。
3，正如第5楼中所发表的观点那样，我对欧阳耿文章的理解是“康托是错误使用反证法、错误使用了序列（1）和（2）而导致他的这类证明成了一种典型的数学魔术，使康托将整个证明建立在这种错误的思路与操作上：假如所构造的某个（任意）序列（1）或（2）含有所要证明的无穷集合中的全部元素，则该无穷集合可数；否则该无穷集合不可数。”
4，不过谈谈感想，有感而发，不要太较真。
支持(1) 反对(1)
第 12 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 19:49:53
1，似乎这个世界上只有上楼的人和欧阳耿两人知道“序列⑴和序列⑵”，殊不知只要看过欧阳耿文章的人都知道“序列⑴和序列⑵”。
2，我还看过欧阳耿专门讨论芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论的文章，不像楼上说的那么简单。
3，正如第5楼中所发表的观点那样，我对欧阳耿文章的理解是“康托是错误使用反证法、错误使用了序列（1）和（2）而导致他的这类证明成了一种典型的数学魔术，使康托将整个证明建立在这种错误的思路与操作上：假如所构造的某个（任意）序列（1）或（2）含有所要证明的无穷集合中的全部元素，则该无穷集合可数；否则该无穷集合不可数。”
4，不过谈谈感想，有感而发，不要太较真。
支持(1) 反对(2)
第 13 楼 匿名人士 发表于:2010-10-08 22:17:23
欧阳耿说：“在这个证明里，我们看到了一种罗素悖论的翻版：假设由用区间套法找到的所有实数T1或用对角线法找到的所有实数T2属于序列⑴或序列⑵（评语：根本不存在这种可能，用两种方法中的任何一个都找不到任何可以属于序列⑴或序列⑵的实数）。由所给出的序列⑴或序列⑵的性质：它们已经含有所要证明的实数集合的全部元素，亦即序列⑴或序列⑵不该含有该序列中元素以外的T1或T2。因此这与假设矛盾（评语：这个“矛盾”能够成立的前提是前面那个不可能的假设，既然假设的情况根本不存在，所以这个矛盾也不存在）。假设由用区间套法找到的所有实数T1或用对角线法找到的所有实数T2属于序列⑴或序列⑵（评语：这并不是假设，而是必然的结果），由所给出的序列⑴或序列⑵的性质：它们已经含有所要证明的实数集合的全部元素，亦即序列⑴或序列⑵本来就应该含有T1或T2。这又与假设矛盾。”
可知，欧阳耿虚拟了一个并不存在也不可能存在的矛盾，在剔除这个虚拟矛盾之后，连模拟罗素悖论的可能都没有了。
支持(1) 反对(0)
第 14 楼 匿名人士 发表于:2010-10-09 09:35:02
对上面的修正：
欧阳耿说：“在这个证明里，我们看到了一种罗素悖论的翻版：假设由用区间套法找到的所有实数T1或用对角线法找到的所有实数T2属于序列⑴或序列⑵（评语：根本不存在这种可能，用两种方法中的任何一个都找不到任何可以属于序列⑴或序列⑵的实数）。由所给出的序列⑴或序列⑵的性质：它们已经含有所要证明的实数集合的全部元素，亦即序列⑴或序列⑵不该含有该序列中元素以外的T1或T2（评语：欧阳耿又搞错了，如果序列⑴或序列⑵确实含有全部实数，那么由于T1或T2是实数，就必须包含在两个序列中，就像他自己在下面将要说到的那样。试问，这两个序列的哪条性质表明了“不该含”？正是这个“应该含而没有含”否定了“实数可数”的假设）。因此这与假设矛盾（评语：这个“矛盾”能够成立的前提是前面那个不可能的假设，既然假设的情况根本不存在，那么这个“矛盾”也不存在）。假设由用区间套法找到的所有实数T1或用对角线法找到的所有实数T2不属于序列⑴或序列⑵（评语：这并不是假设，而是真实的必然），由所给出的序列⑴或序列⑵的性质：它们已经含有所要证明的实数集合的全部元素，亦即序列⑴或序列⑵本来就应该含有T1或T2。这又与假设矛盾。”
综上可知，欧阳耿为了能造出一个类似罗素悖论的东西，虚构了一个不可能存在的“矛盾”，犯了“预期理由”的逻辑错误。在剔除这个虚构的矛盾之后，欧阳耿就无法模拟罗素悖论了。
支持(2) 反对(1)
第 15 楼 匿名人士 发表于:2010-10-11 16:43:56
见仁见智，我看完欧阳耿的系列文章后认为康托的实数集合不可数证明中的错误并不像楼上说的那么简单，现在从欧阳耿的一篇论文中摘录下面这段内容供您参考：
3数学基础理论的缺陷与康托实数集合不可数这类证明中的四种错误
康托的这类证明中存在四种错误，其核心是逻辑上的错误。我们的研究证明，现有经典无穷理论体系和经典极限论中的缺陷是导致这类证明中逻辑错误的根源[1-8]。
3.1逻辑上的错误
这类证明中的第一个步骤与第二个步骤之间有一个非常隐蔽的逻辑矛盾：先在第一个步骤中告诉人们序列（1）或（2）已经包含所要证明的实数集合中的全部元素，再在在第二个步骤中告诉人们序列（1）或（2）根本不可能包含所要证明的实数集合中的全部元素。由于我们所从事的是科学、数学里的工作，序列（1）或（2）究竟是否包含所要证明的实数集合中的全部元素只能有一种定论，既不能随时间而变也不能随心所欲。这个证明中的逻辑矛盾使人们无法回答如下的两个问题：
问题 1. 既然在第一步骤中规定（假定）序列（1）或（2）“已经包含”所要证明的实数集合中的全部元素，那为什么还要用区间套法或对角线法去寻找序列（1）或（2）中所无法包容的实数，并且居然还真的找出一些？康托错用了罗素悖论的思路而使这类证明成了罗素悖论的现代翻版-----用区间套法或对角线法构造出“不含有实数元素的实数子集” [7]。实际上，从康托如上的证明中，我们清楚地看到，区间套法或对角线法确实是众多构造“含有不同元素子集”方法之一，它们的成功使用恰恰说明康托在该类证明中的第一步就完全错了：本来就不该在第一步骤中规定（假定）序列（1）或（2）“已经包含”所要证明的实数集合中的全部元素，本来就不可能构造出含有所要证明的实数集合中全部元素的这种序列（1）或（2）。
问题2. 既然允许用复杂的区间套法或对角线法去寻找序列（1）或（2）中所无法包容的实数，说明序列（1）或（2）确实仅含所要证明的实数集合中的部分元素，必然还可以用别的方法来寻找序列（1）或（2）中所无法包容的实数，比如说为何不允许用一句非常简单的语句来完成整个证明：“根据任何两个实数之间必存在其他实数这一性质，可推出序列（1）或（2）中任何两个元素之间肯定存在许多与该序列中的任何一个元素都不同的实数，这说明序列（1）或（2）并不包含所要证明的实数集合中的全部元素，与假设不符，这一矛盾证明了实数集合不可数”。
反证法没有错，但康托在这个证明中错用了反证法------错用了序列（1）和（2）。
支持(0) 反对(0)
第 16 楼 匿名人士 发表于:2010-10-12 22:30:32
对3.1“逻辑上的错误”中第一段的评语：
再次说明，关键是要弄懂反证法，先列出反证法的步骤：①欲证命题P真；②先假设P假；③如果P假则Q真；④通过证明，发现Q假；⑤根据充分条件假言推理否定后件式，推出P不假；⑥结论：P真，证毕。
首先，欧阳耿说的这段话证明他完全没有搞懂反证法。我们对照上面列出的反证法步骤一步一步地看康托的证明：
①欲证命题P真（即证明“实数不可数”是真的）；
②先假设P假（即先假设“实数可数”为真）；
③如果P假则Q真〔即由于假设了实数可数，那么根据可数的定义，就必须假设实数集合中的全部元素（注意必须是全部）可以一个一个地，无遗漏地列入一个序列（此断言就是命题Q），因此有些人称可数为可列〕；
④通过证明，发现Q假（即证明发现该序列至少漏掉了一个实数）；
⑤根据充分条件假言推理否定后件式，推出P不假（即说“实数不可数”不假）；
⑥结论：P真（即“实数不可数”为真）。
另外还要强调说明的是：第一，不必分序列⑴和序列⑵，只要假设实数可数，就只能假设存在唯一的一个序列；第二，序列是否包含全部实数当然有一个定论，不过欧阳耿看来不知道，只要假设实数可数这个前提，就逻辑地蕴涵了序列必须包含全部实数的结果；第三，只要真正懂得反证法，就知道康托在这两个证明中没有任何的“随心所欲”。
欧阳耿从1998年起就没弄懂反证法，一个错误理解能够持续十几年，估计是被一些错误的“发现”主导了思维。
支持(1) 反对(0)
第 17 楼 匿名人士 发表于:2010-10-12 22:58:51
对问题1和问题2的评语：
前面的评语已经回答了问题1。
至于问题2，却是一个不能简单回答的问题。欧阳耿提议用实数的一个性质来证明，似乎非常有道理。但如果这样做了，就成了一个循环论证。欧阳耿提到的“任何两个实数之间必存在其他实数”的性质，是一个拓扑性质，它的导出需要用到点集拓扑学，而点集拓扑学是建立在集合论上的。由于从逻辑上说，论证实数集合不可数在先，论证“任何两个实数之间必存在其他实数”的性质在后，因此“实数集合不可数”的真结论已经蕴涵了“任何两个实数之间必存在其他实数”这一衍生结论，再用这个衍生结论反过来论证“实数集合不可数”就涉嫌循环论证了。
欧阳耿可能会争辩说，在点集拓扑学形成之前，实数的这个性质已经搞清楚了。的确如此，但集合论建立起来后，数学界把各数学分支从新一个个地建立在集合论上，故它们之间的逻辑次序有了新的认定。
另外，本人的感觉是区间套法也有使用拓扑性质的嫌疑。因此，在论证实数不可数时，最好使用对角线法，因为这个方法不涉及拓扑学，只是构造了一个新的数字。
支持(1) 反对(0)
第 18 楼 匿名人士 发表于:2010-10-15 23:03:23
引用楼上的话：由于从逻辑上说，论证实数集合不可数在先，论证“任何两个实数之间必存在其他实数”的性质在后，……它们之间的逻辑次序有了新的认定。
实数是什么东西？
现在从欧阳耿的一篇论文中摘录另外一段内容供您参考：
由于现有经典无穷观在本体论上的缺陷[1-4]，特别是“实无穷”与“潜无穷”概念的混乱，导致“部分”与“整体”概念不分。康托在第一个步骤中用“实无穷”的思路构造出“不含那些可用区间套法或对角线法找出的实数”的序列（1）或（2）并随心所欲地假设它们“已经包含所要证明的实数集合中的全部元素”，然后以“潜无穷”的思路用区间套法或对角线法在第二个步骤中严格证明“序列（1）或（2）不含所要证明的实数集合中的全部元素”。我们很清楚地看到，在这类证明中，康托已通过第二个步骤自己证明了序列（1）或（2）中并不包含那些可用区间套法或对角线法找出的实数。也就是说序列（1）或（2）本来就仅能代表一种特定的、不包含某些实数的特殊集合，仅仅是所要证明的实数集的一部分，但是康托却错误地指定用只可能含“部分”实数的序列（1）或（2）来代表所要证明的“整体”实数集合。“实无穷”与“潜无穷”的混乱使康托随心所欲地用“部分”替换了“整体”，当然可以轻而易举地找到属于实数集合-----“整体”但却不可能被包含在序列（1）或（2）-----“部分”中的一些实数。文 [1-8]的讨论使我们了解到，与现有经典无穷理论体系密切相关的数学基础理论中的缺陷导致人们（包括康托自己）一直无法了解数学研究过程中所构造或所要处理的具体对象究竟是“实无穷”或“潜无穷”、是“部分”或“整体”。实际上，康托的这类证明仅仅得出这样的结果：序列（1）或（2）确实仅仅是所要证明的实数集合的一部分，它们确实仅含所要证明的实数集合中的部分元素。该类证明仅向人们展示序列（1）和（2）的性质，与实数集合的不可数性风马牛不相及！
数学基础理论的缺陷使康托错误使用反证法、错误使用了序列（1）和（2），使康托将整个证明建立在这种错误的思路与操作上：假如所构造的某个（任意）序列（1）或（2）含有所要证明的无穷集合中的全部元素，则该无穷集合可数；否则该无穷集合不可数。
支持(0) 反对(1)
第 19 楼 匿名人士 发表于:2010-10-16 10:29:20
如果不讲什么“实无穷”与“潜无穷”，我对楼上这段内容的理解是：康托在这个证明中陷入了一个逻辑怪圈：凡是想用与区间套法或对角线法相关的反证法来进行证明，就必须构造出某种序列，而凡是这里所构造的序列必定不允许它们含有可用区间套法或对角线法找出的实数，显然这类序列只可能含有所要证明的实数集合的部分元素，所以人们肯定可以用某种方法找出不在这类序列中但又确实属于所要证明的实数集合的那些被“藏起来”的元素。这样的证明当然永远“胜利”。确实，这不是数学而是魔术。
支持(0) 反对(0)
第 20 楼 匿名人士 发表于:2010-10-16 23:14:30
这位人士不断提供欧阳耿的说法却无自己的主见。
欧阳耿说“康托在第一个步骤中用‘实无穷’的思路构造出‘不含那些可用区间套法或对角线法找出的实数’的序列（1）或（2）并随心所欲地假设它们‘已经包含所要证明的实数集合中的全部元素’”，关键的错误就在“随心所欲”，其错误之处在前面已分析过，无重复必要。不过现在可通过另外两个反证法的实例来揭示欧阳耿对反证法的错误理解。
古时有个“道旁苦李”的故事说一个叫王戎的小孩，他和其他小朋友玩耍时看到路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，独王戎没动。那些小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的。他们问王戎：“你怎么知道李子是苦的？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”王戎的解释就用到了反证法。
现在我们对王戎的解释也来做一番“欧阳耿式的”质疑，按照欧阳耿的逻辑，王戎把本来就是苦的李子“随心所欲”地假设成不苦的，并且由于王戎“随心所欲”地把苦李子“替换”成不苦的李子，当然可以轻而易举地证明苦李子就是苦的。
再举一个多少和欧阳耿的专业有所联系的例子。语言学认为，语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系。语言学家用反证法论证如下：“语音的声音和所表示的事物之间并没有什么必然的联系，并非某一个声音必然表示某一个事物。声音和事物的结合假如有什么必然联系，世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应当是相同的。既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同，可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的。”
那么按照欧阳耿的逻辑，语言学家把“声音及其表示之事物之间本来就没有必然联系”这个事实“随心所欲”地假设成“有必然联系”，并且由于语言学家“随心所欲”地把“声音及其表示之事物之间没有必然联系”“替换”成“有必然联系”，当然可以轻而易举地证明它们之间没有必然联系了。
看来，尽管欧阳耿反复说反证法没错，但他实际上就是在质疑反证法。
那么欧阳耿动用“实无穷”和“潜无穷”能否加强他的质疑呢？恐怕不能。他这样把两个关于无穷的概念完全对立起来显然是一种思维僵化的表现。现代数学承认实无穷，实质上是表示不管无穷是否是物理现实，但在思维中可以把无穷当成实体来处理，即至少可以在思维中存在。在历史上，反对实无穷的数学家提倡潜无穷，关注的是一个构造过程，最终虽没有占上风，但并非一无是处，在现代数学中仍有一席之地。可以大致地认为，实无穷与存在有关，潜无穷与过程有关，这就是说，两者并不是相互矛盾的概念，两者并存可形成互补。不能因为历史上有数学家在两个无穷的争论中势不两立或者在一段时期内某种无穷的概念占上风就错误地认为这两者真的就是不共戴天的了。
楼上所引欧阳耿的最后一段话，说明欧阳耿似乎没有搞清楚序列的定义。
支持(0) 反对(0)
第 21 楼 匿名人士 发表于:2010-10-17 00:04:37
偶尔看到这里的讨论，很好。
作为欧阳耿的学生，我来回答问题。
第一个例子，不是证明，用在这里不合适，很多人可能会说“王戎猜对了”。
而对于第二个例子，用在这里也不合适，因为不能绝对说“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”，比如像声词的声音和它所表示的事物之间有必然联系，还有“母亲”这个事物在很多语言里的发音都是“mama”。
建议找些合适的例子。
“实无穷”和“潜无穷”问题已经争论了几千年，见仁见智。
支持(0) 反对(0)
第 22 楼 匿名人士 发表于:2010-10-17 17:24:29
⑴ 欧阳耿的错误与无穷的讨论无关，仅仅源于不懂反证法，这样评价他的理由如⑵所示；
⑵ 欧阳耿实际上提出了一个命题：在运用反证法时，假设非P后，不能进行“非P→Q”的推理。这直接违反了反证法的论证程序，因此他陷入如⑶所示的错误；
⑶ 由于不理解“序列应包含全部实数”完全是“非P→Q”的推理结论，加上没有真正理解可数性定义，所以反复指责康托“构造”了序列；
⑷ 至于那位欧阳耿的学生，只能说你也没搞懂反证法。
支持(0) 反对(0)
第 23 楼 匿名人士 发表于:2010-10-17 22:56:37
楼上人士第一个观点错了，我看了欧阳老师的系列论文后知道他是先发现经典无穷理论体系的缺陷，进而发现经典极限论的缺陷，然后才发现与“无穷”相关的一些数学内容的缺陷。康托关于实数集合不可数证明的错误仅仅是与“无穷”相关的许多错误数学内容之一，他在这个领域里已经默默奉献35年了，就凭这一点，我们敬佩他。抛开“无穷”就不可能清楚讨论发生在与“无穷”相关的无穷集合的有关现象。建议去了解一点与“无穷”相关的知识，几千年来学界一直在争论的“实无穷--潜无穷”问题不是简单的“思维是否僵化”就可以说清楚的事。
楼上人士第二个观点错了，应用反证法进行证明是有条件的，如果糊里糊涂、随意（康托不知极限论的缺陷所致）给个序列就“‘序列应包含全部实数’完全是‘非P→Q’的推理结论”，那才真的是“直接违反了反证法的论证程序”。
支持(0) 反对(0)
第 24 楼 匿名人士 发表于:2010-10-20 08:33:49
建议楼上先把数理逻辑的最基础部分弄清楚再来讨论。你和你的老师恰恰在复合命题的真值上犯了错误。不要说连数理逻辑都错了哦！我想，由于英语的语言特性，学习英语的人理解这样的条件陈述句应该是没有太大问题的。
支持(0) 反对(0)
第 25 楼 匿名人士 发表于:2010-10-20 16:49:18
这里的讨论有点意思，我也想说几句：
1. 反对欧阳耿观点的人认为康托是用反证法来进行证明的，因为反证法没错，所以康托的证明没错。
2. 支持欧阳耿观点的人认为反证法没错，但是康托错误地使用了序列（1）或（2），所以康托的证明错。
3. 我认为这里的讨论显然跟数理逻辑没关系，而是一个具体的操作细节：序列（1）或（2）应该是什么样子的？双方来回这么多回合都没有挑明这个关键点。
4. 了解这里讨论的实质并仔细看过欧阳耿相关论文后，我认为“序列（1）或（2）应该是什么样子”这个问题很重要。如果“序列（1）或（2）应该是什么样子” 这个问题无关紧要，夸张一点讲，用自然数集合来当序列（1），用有理数集合来当序列（2），那么证明就简单多了。康托的证明中确实有一个很隐蔽的逻辑错误，很多人和康托一样，在这个证明中深深地陷入了一个逻辑怪圈：凡是想用与区间套法或对角线法（或任何方法）相关的反证法来进行证明，就必须构造出某种序列并假设它含有所要证明的实数集合中的全部元素来和自然数集合构成一一对应；而凡是所构造的序列必定只可能含有所要证明的实数集合的部分元素（比如不可能含有可用区间套法或对角线法找出的实数），所以人们肯定可以用某种方法找出不在这类序列中但又确实属于所要证明的实数集合的那些被 “藏起来”的元素而得出所要证明的结论-----这哪里像个数学证明，简直就像个精心编织的骗局。
支持(0) 反对(0)
第 26 楼 匿名人士 发表于:2010-10-20 21:57:15
根本不必分什么序列⑴和⑵，只要假设实数可数，就只能假设存在唯一的一个序列，还必须假设它包含全部实数。这一点，我已经反复讲过，楼上视而不见，却说“双方来回这么多回合都没有挑明这个关键点。”欧阳耿反复说康托是“构造”了序列，康托是怎样“构造”的？欧阳耿给出的只是断言，从来没有说清楚“构造”细节。因此，没有说清楚有关序列问题的欧阳耿。再次强调，欧阳耿的错误就在于条件命题真值的取值和反证法程序。
支持(0) 反对(0)
第 27 楼 匿名人士 发表于:2010-10-20 22:17:33
在康托证明实数是否可数之前，谁知道假设实数可数后得到的假设序列不含有区/对法能找出的元素？当然是要靠证明，正是通过证明，才知道序列漏掉了至少一个元素。一百多年后，欧阳耿在已经知道序列不含全部实数的情况来指责康托“藏起来”一些元素，又说不出康托是怎样“藏”元素的，恐怕不太妥当。
支持(0) 反对(0)
第 28 楼 匿名人士 发表于:2010-10-20 22:27:13
顺便说一下，现代数学证明实数不可数采用拓扑性质：由于实数是一个非空紧致豪斯道夫空间，其中没有孤立点，所以不可数。
数学界不会责怪康托没有采用这个方法，因为他那个时代点集拓扑学还没有建立起来。
支持(0) 反对(0)
第 29 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 05:32:36
更正：
顺便说一下，现代数学证明实数不可数采用拓扑性质：由于实数的每一个闭区间都是一个非空紧致豪斯道夫空间，其中没有孤立点，所以不可数。
数学界不会责怪康托没有采用这个方法，因为他那个时代点集拓扑学还没有建立起来。
支持(0) 反对(0)
第 30 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 06:50:21
真有意思，还是由我来回答
回答第 26 楼的观点。
“只要假设实数可数，就只能假设存在唯一的一个序列，还必须假设它包含全部实数”，这点没错。问题是证明者必须给出（构造）一个实实在在的序列来进行接下去的操作步骤，但是康托和第 26 楼的人士显然都认为只要有给出个序列就行，什么样的序列都行----操作形式上符合“条件命题真值的取值和反证法程序”就行，夸张一点讲，用有理数集合来充当所给出的序列也完全符合康托和第 26 楼的人士的证明思路和逻辑，并且二者在本质上确实也完全相同：都是仅仅包含所要证明的实数集合的部分元素。这是康托在证明中一个很隐蔽的错误。康托在证明中的序列“构造”法很自然、简单，与大家都熟悉的极限论相关，现有极限论的缺陷与康托在证明中这个很隐蔽的错误密切相关。
回答第 27楼的观点
并非“一百多年后，欧阳耿在已经知道序列不含全部实数的情况来指责康托“藏起来”一些元素，”而是康托自己当时在证明的第二个步骤中就知道了，这可不能冤枉人。
回答第 28楼的观点
现代数学证明实数不可数肯定还会有很多方法，但是从欧阳耿的文章我们很清楚的了解到他仅仅针对康托的证明，并且目的是研究数学的基础理论。我知道他还提出“调和级数悖论”问题、“第二次数学危机悬而未决”问题，康托的证明只是一个小小的例子而已。
支持(0) 反对(0)
第 31 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 09:50:53
30楼的错误仍然是不清楚反证法，没有人（除了欧阳耿自己）说什么样的序列都行，康托以及后来的数学家都只能假设存在唯一的一个序列，且必须假设这个序列含有全部实数。如果你事先就知道这个序列是什么样子的（当然现在地球人都知道，但在康托证明之前谁知道？），还要证明做什么？另外，你对符合操作形式就行的看法又说明你没有真正弄懂形式逻辑，形式逻辑正是研究从不同的推理内容中抽取出来的各种共同的逻辑形式。数学从某种程度上说用的就是形式逻辑方法。若既要考虑内容，又要考虑形式，估计永远不会有统一的数学了。因此，既考虑内容又考虑形式的研究就交给物理学等学科，数学研究的就是要求形式上一致无矛盾。
我说“一百多年后，欧阳耿在已经知道序列不含全部实数的情况来指责康托‘藏起来’一些元素”，这并没有什么不对，你自己也说了，康托是自己证明后才知道的。而欧阳耿是在“一百多年后”学习数学时看到的这个结论，哪里冤枉人了？
欧阳耿的其他论题均源于对于无穷、极限的误解，他眼中的危机均是由于他的哲学本体论观点导致的，他是否应该归于经验论者，还要观察。
支持(0) 反对(0)
第 32 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 10:00:30
我说“一百多年后，欧阳耿在已经知道序列不含全部实数的情况来指责康托‘藏起来’一些元素”，这并没有什么不对，你自己也说了，康托是自己证明后才知道的；而欧阳耿是在“一百多年后”学习数学时看到的这个结论，于是他不断指责康托“藏起一些元素”，那意思不就是说康托明知假设的序列不包含全部实数，还故意设此“骗局”来造假吗？哪里冤枉人了？
支持(0) 反对(0)
第 33 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 11:47:57
如果说数学仅仅是一种只考虑形式不考虑内容的学科（正如31楼中所说：形式逻辑正是研究从不同的推理内容中抽取出来的各种共同的逻辑形式。数学从某种程度上说用的就是形式逻辑方法。若既要考虑内容，又要考虑形式，估计永远不会有统一的数学了。因此，既考虑内容又考虑形式的研究就交给物理学等学科，数学研究的就是要求形式上一致无矛盾。），这显然是一种比较古怪的数学哲学，估计会有很多人不同意。退一步说，假设数学真的就像楼上所说“数学从某种程度上说用的就是形式逻辑方法。”，那么第 30 楼批评康托和楼上人士“实际的证明思路与行为----什么样的序列都行”并没有不妥之处。不知楼上对第 30 楼的这句话怎么评论：“用有理数集合来充当所给出的序列也完全符合康托和第 26 楼的人士的证明思路和逻辑，并且二者在本质上确实也完全相同：都是仅仅包含所要证明的实数集合的部分元素。”夸张的语言是为了使问题更明显，没有恶搞的意图，因为这是一个很严肃的学术讨论。
支持(0) 反对(0)
第 34 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 13:21:40
“用有理数集合来充当所给出的序列也完全符合康托和第 26 楼的人士的证明思路和逻辑，并且二者在本质上确实也完全相同：都是仅仅包含所要证明的实数集合的部分元素。”
我的看法是，你总是在这个序列问题上绕不出来。前面已经多次说明，反证法中的第一个假设（实数可数）必然带来根据假设作出的推论（存在一个含有全部实数的序列），但通过下一步的证明发现并不存在这样一个序列，因此必须否定第一个假设。然后根据排中律，得出实数不可数的结论。如果你直接用有理数组成的序列，那还叫反证法吗？尽管现在已知只要假设实数可数，那么能存在的序列一定只含有理数，不含无理数。但这是反证出来的结论，你不能用这个结论再回过头去做论据，那样就是循环论证了。
至于数学哲学，那倒确实处于山头林立的状态，但以公理化为主流的数学界基本上不把数学与现实世界作一一对应，认为数学是由逻辑推动的，不是实用推动的，否则非欧几何等就诞生不出来了。有趣的是，非欧几何正是希望用反证法证明第五公设却没有发现矛盾而诞生的。尽管现在有些数学家呼吁考虑数学不要自顾自地恣意发展，但我想这是没有用的，那些逻辑头脑发达的人仍会自顾自地发明一些也许现在看来除了逻辑上无矛盾，其他方面一无是处的数学分支，若干年后突然被发现大有用处，就像非欧几何、拓扑学，群论等等抽象东西一样。
支持(0) 反对(0)
第 35 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 22:00:10
“前面已经多次说明，反证法中的第一个假设（实数可数）必然带来根据假设作出的推论（存在一个含有全部实数的序列），但通过下一步的证明发现并不存在这样一个序列，因此必须否定第一个假设。”
我认为楼上人士一直绕不出来，一直不知道（似乎是根本就不想知道）康托是如何“发现并不存在这样一个序列”的。前面已经多次说明，康托是这样发现的：构造了一个仅仅含有部分实数元素的序列，假设它含有所要证明的实数集合的全部元素来和自然数集合建立一一对应，找出本来就不可能被包含在该序列中的那些元素，否定假设而得到证明结果。
支持(0) 反对(0)
第 36 楼 匿名人士 发表于:2010-10-21 23:27:26
我当然想知道康托是怎样“构造”了一个仅仅含有部分实数元素的序列？请明确说出他的“构造”步骤和细节，不能仅凭欧阳耿说他“构造”了，我就得承认他“构造”了吧？欧阳耿的说法之所以得不到认同，就是因为他武断地说康托“构造”了序列，却说不出康托是怎样“构造”的，因为欧阳耿实在不能说康托有意只用有理数“构造”了这个序列，尽管他隐约表达了这个意思。
还是建议你把逻辑学中关于“充分条件假言推理肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件”的部分及其在反证法中应用那两部分彻底弄清楚。看能不能不再让康托“构造”序列。
其实，欧阳耿等人真正不能理解的是：为什么在反证法中，只要证明那个假设的序列没有包含全部实数，就能够证明实数是不可数的。一个假设怎么就能定乾坤呢？这其实也是很多初学反证法的人（包括我自己）的疑问。但由于反证法得到高度认可，所以欧阳耿等也只是存疑在心，并不否定反证法，转而去质疑个案。说白了，还是不太信任和理解反证法。
支持(0) 反对(0)
第 37 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 06:04:49
我来回答这个问题。首先康托在进行证明时不可能仅仅停留在空洞的：逻辑学中关于“充分条件假言推理肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件”。 他必须有确切的如何与自然数集合一一对应的操作步骤，楼上人士认为康托在证明中不用“构造”序列的想法肯定是错误的。
现在搞清楚了，原来楼上人士是不了解康托证明中的具体步骤和细节，我来回答对角线法中“康托是怎样“构造”了一个仅仅含有部分实数元素的序列？”这个问题。
康托是这样子构造一个仅仅含有部分实数元素的序列的：
假没实数集合（0，1）是可数的，我们把0与1之间的每个实数写成无穷小数0.P1P2P3…，将实数集合（0，1）中的全部实数枚举数来，得到序列：
a1, a2, a3, a4,…, an,… （1）
然后康托就用对角线法证明序列（1）并没有把（0，1）中的数枚举完，即假设集合（0，1）可数是错误的，所以集合（0，1）是不可数的。
支持(0) 反对(0)
第 38 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 14:42:02
你所说的“构造”过程分成两步，第一步，用10进位表数法把每一个实数写成无尽小数，这是在康托之前就已经采用的做法；第二步，无尽小数按照大小有个顺序，直觉感到可以把它们按顺序排成一个序列，这也是在康托之前的共识。这算是康托“构造”的吗？
如果你是想说康托“构造”的序列与这个不同，那你就得指出，用同样的手段和元素，康托是怎样“构造”出不同的序列的。
支持(0) 反对(0)
第 39 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 15:21:43
“做法”什么时候出现不用管他，但是康托把“做法”用在他的证明中，当作“构造”序列的思路-----“用同样的手段和元素”，当然就可以算是康托“构造”的。我注意到楼上人士很注重“形式”，太注重事物的“形式”导致忽略事物的“本体”就不好了。
支持(0) 反对(0)
第 40 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 16:34:51
要提醒29楼的是，你说的“构造”仅仅涉及到10进位表数法和实数的序结构，你可以去研究一下，看这两个条件是否能使康托“藏起”部分实数？结论当然是不能，因为已知实数集合包含了全部实数，同时其中每一个实数都能用10进位表数法表示，且任何两个不同的实数之间都存在顺序关系。这清楚地说明康托不能仅仅依靠你说的两个步骤来“构造”一个不同于实数集合的序列（序列本身也是集合）。
支持(0) 反对(0)
第 41 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 17:02:55
引用楼上这句话“【实数集合包含了全部实数】，同时其中每一个实数都能用10进位表数法表示”。
理论上，极限论的本体论缺陷决定了楼上这句话“同时其中每一个实数都能用10进位表数法表示”是错误的；实践上，康托在该证明中对角线法寻找不可能被蕴含在序列（2）中的实数更是用具体的例子来证明楼上这句话“同时其中每一个实数都能用10进位表数法表示”是错误的。
支持(0) 反对(0)
第 42 楼 匿名人士 发表于:2010-10-22 22:12:09
首先，请找一本数学分析，例如北大的教材看看吧，在“实数的无尽小数表示和顺序”一节中你可以看到现代数学是用基于10进位表数法的无尽小数来表示全部实数的，而全部实数自然就是实数集合。对与不对，建议暂不争论，因为你肯定要拿出有争议的欧阳耿极限论的本体论缺陷等来作为反驳依据，而这是不会有结果的。总之，依照现代数学的观点和实践，用无尽小数完全可以穷尽实数。
第二，康托的证明并没有证伪“无尽小数能够穷尽实数”的说法，之间不存在任何矛盾。请注意，我在帖子中特地用了实数集合和序列两种不同称谓，就是因为根据10进位表数法和序结构，能够构造出包含全部实数的“集合”，但不能构造出包含全部实数的“序列”。为什么如此，就因为序列虽然也是集合，但却是一种特殊的集合。你应该记得我在前面的帖子中说过这样一句话“欧阳耿似乎没有搞清楚序列的定义”，那么从你的帖子中的那句话“实践上，康托在该证明中对角线法寻找不可能被蕴含在序列（2）中的实数更是用具体的例子来证明楼上这句话‘同时其中每一个实数都能用10进位表数法表示’是错误的”可以看出，你也把序列与集合混为一谈。建议先弄清楚两者的差异。
支持(0) 反对(0)
第 43 楼 匿名人士 发表于:2010-10-23 08:51:14
引用楼上这句话“就是因为根据10进位表数法和序结构，能够构造出包含全部实数的“集合”，但不能构造出包含全部实数的“序列”。为什么如此，就因为序列虽然也是集合，但却是一种特殊的集合。”
回到康托的证明，楼上是在告诉人们康托在该证明中仅仅是在证明含有所要证明的实数集合中部分实数的“一种特殊的集合”的性质而非实数集合的性质，这正是以欧阳耿为代表的人所指出的“康托的错误----数学魔术”。
支持(0) 反对(0)
第 44 楼 匿名人士 发表于:2010-10-23 13:02:54
又绕回来了！看来欧阳耿等怎么也弄不懂反证法了：总是要把康托得出的结论来作为反驳康托的论据。直接推翻反证法不更简单吗？现在有事，过后再讨论。有反方也是一个深化知识的机会。
支持(0) 反对(0)
第 45 楼 匿名人士 发表于:2010-10-23 17:06:19
这段讨论很有意思，我们由衷地说声谢谢。
支持(0) 反对(0)
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-10-28 06:51
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡