一个极速收敛的开方迭代公式

elim

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

我们来试试这个算法：

1. def kf(a, k =2, s = 1，e = 0.00000000000001):
   
2.         if a <= 1:
   
3.                 print "Need input a > 1"
   
4.                 return 0
   
5.         if int(k) != k or k < 2:
   
6.                 print "Need integer n > 1"
   
7.                 return 0
   
8.         if 1 == s:
   
9.                 print "Calculating %.2f^(1/%d). Accuracy %.18f" % (a, k, e)
   
10.         m = 1 - k
    
11.         u = (k - 1.0)/k
    
12.         v = a*1.0/k
    
13.         x = a*1.0
    
14.         cnt = 0
    
15.         d = e + 1.0
    
16.         while d > e:
    
17.                 y = u*x + v*(x**m)
    
18.                 d = x - y
    
19.                 cnt += 1
    
20.                 if s == 1:
    
21.                         print "%3d: %.15f" % (cnt, y)
    
22.                 x = y
    
23.         if 1 == s:
    
24.                 print "Result: %0.15f  (%d times iterate, accuracy: %.18f)" % (x, cnt,e)
    
25.         return x

复制代码

elim

当被开方数是有理数时，这个算法显然是方根的有理逼近.

elim

有趣的问题是为什么 x(n) 与 a (x(n))^(1-p) 的平均要使用权 (p-1)/p 及 1/p ?

elim

elim

elimqiu

这才是主贴迭代公式的真正来源！！！

shuxuestar

牛顿的微积分最初基本以几何形式完成的. 当然除了微积分，牛顿用古希腊的方法还有很多成果，微积分乃至方程解决不了的。

shuxuestar

现代最牛的数学家有的又在回归牛顿，惠更斯，乃至古希腊的原始方法，可见古希腊是万能的