f(x)=x^3-x^2+ax+b=0 有三实根在[-2,-1],[-1,1],[1,2]内，求 ∫f(x)dx 的最大最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88

f(x)的导数=3x^2-2x+a在(-2,1)和(1,2)之间有两个实数根
可以获得-8≤a≤-1(1)
∫f(x)dx=((x^4)/4-(x^3)/3+(ax^2)/2+bx)在(0,1)区间最大最小值

等同于求a/2+b-1/12的最大最小值
基于f(x)三根的位置可以获得
f(2)=2a+b+4≥0(2)
f(1)=a+b≤0(3)
f(-1)=-a+b-2≥0(4)
f(-2)=-2a+b-12≤0(5)
结合(1)(3)得出b≤8,必然满足(5)
结合(4)得出-6≤b≤8
a/2+b+1/12≥(3/2)a+25/12以及≥(-3/2)a-47/12，最小值-29/12
最大值≤-a/2+1/12=49/12

angel_phoenix88

似乎有点问题

luyuanhong