P(a,b) 为曲线 x^2+12xy+6y^2=1 上的动点，求 √(a^2+b^2) 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88

求a^2+b^2最小值先，再简单加个sqrt吧
变换曲线为6(x+y)∧2-5x∧2＝1
由于(a，b)是曲线上动点，定义
a+b＝secθ/sqrt(6)(1)
a=tgθ/sqrt(5)(2)
得出b=secθ/sqrt(6)－tgθ/sqrt(5)
定义f(θ)＝a∧2+b∧2＝(17/30)(tgθ)∧2-2secθtgθ/sqrt(30)+1/6(1)
对f(θ)的导数＝secθ(17/15tgθsecθ-2(secθ)^2/sqrt(30)-2(tgθ)∧2/sqrt(30))
f(θ)取最小值时必然满足

17/15tgθsecθ-2(secθ)^2/sqrt(30)-2(tgθ)∧2/sqrt(30)=0
分解因式得出tgθ=2/sqrt(30)secθ(2)
解出(secθ)∧2=15/13(3)
把(2)代入(1)化简得最小值时f(θ)＝13/30(secθ)∧2-2/5(4)
(3)代入(4)得出a^2+b∧2最小值为1/10

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的另一种解法：