求y=arctanx的导数，推导过程中的一个系小问题1

dodonaomiki

y=arctanx,则x=tany
arctanx′=1／tany′【   这一步，怎么来的呢？】
tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos2y=1/cos2y
则arctanx′=cos2y=cos2y/sin2y+cos2y=1/1+tan2y=1/1+x2
故最终答案是1/1+x2

luyuanhong

下面是网友 elim 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

下式中 g(x) 是 f(x) 的反函数，利用复合函数求导公式，推导出了反函数的导数 g'(x) 与原函数的导数之间的关系。

dodonaomiki

为什么一个函数和它的反函数的导数互为倒数

你这结论不对,是错的
设y=f(x)=x2(定义域是x>0)
它反函数为y=g(x)=√x (定义域是x>0)
于是f`(x)=2x
g`(x)=1/(2√x)
显然f`(x)g`(x)≠1
即f`(x)与g`(x)不互为倒数

dodonaomiki

y=y(x) 原函数 原函数的导数：dy/dx
x=x(y) 反函数 反函数的导数：dx/dy
可见：dx/dy ＝ 1/(dy/dx)
即原函数的导数与反函数的导数互为倒数.
举例：原函数 y = tan x
反函数 x = arctan y
原函数的导数 dy/dx = sec2x
反函数的导数 dx/dy = 1/(1+y2)
dx/dy = 1/(1+tan2x) = 1/sec2x = 1/(dy/dx)
即：dx/dy 与 dy/dx 互为倒数.

dodonaomiki

有人说：这个结论错误【如  上上楼】
有人说：正确【如 上楼】


这到底，是怎么回事儿？