【数论小题征解】三个质数之乘积是这三质数之和的17倍，求这三质数？

trx

三个质数之乘积是这三质数之和17倍，求这三质数？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/11/01 01:43pm 第 2 次编辑]

解:设三质数为x,y,z
则:xyz=17(x+y+z)
两边同乘以z得:
z^2xy=17zx+17zy+17z^2
整理得:
(zx-17)(zy-17)=289+17z^2
鉴于x,y,z∈Z
不妨就设zx-17=P,
        zy-17=Q
(其中P,Q为289+17z^2的两因数)
故以下为一组通解:
   z=t
   x=(P+17)/t
   y=(Q+17)/t
(其中t,(P+17)/t ,(Q+17)/t  必须均为质数)
以下待继续....

申一言

有意思吗？

drc2000

下面引用由申一言在 2010/11/01 03:03pm 发表的内容：
有意思吗？

    申老先生开口说了"有意思吗？",
    此问题已经解决了整数的情形,结果又来个质数的情况,做法基本不变,只要验证一下是不是质数,不过是计算量更大些而已.采用电子表格或者直接编个小程序去解答的话,就简单多了.的确没多大意思!
    我们不妨先听听申老先生的高见?也许用"中华单位论"这一利器来解决此问题必有妙法呢.

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/11/01 00:55pm 发表的内容：
三个质数之乘积是这三质数之和17倍，求这三质数？

题  已知三个质数之乘积是这三质数之和的17倍，求这三质数。

解  设这三个质数是 x,y,z ，根据题意，有 xyz=17(x+y+z) 。
    可以看出，x,y,z 中至少有一个是 17 的倍数，由于 x,y,z 是质数，所以，17 的倍数
只能是 17 本身，也就是说，x,y,z 中至少有一个是 17 ，不妨设 z=17 ，代入上式，就有
17xy=17(x+y+17) ，约去 17 ，则有 xy=x+y+17 ，xy-x-y+1=17+1 ，即有 (x-1)(y-1)=18 。
    两个正整数 x-1 与 y-1 相乘等于 18 ，只有 3 种可能：3×6 ，2×9 ，1×18 。
    当 x-1 与 y-1 为 3 ，6 时，x=4 ，y=7 ，其中有一个不是质数，不符合题意。
    当 x-1 与 y-1 为 2 ，9 时，x=3 ，y=10 ，其中也有一个不是质数，也不符合题意。
    当 x-1 与 y-1 为 1 ，18 时，x=2 ，y=19 ，两个都是质数，符合题意。
    所以，要求的三个质数是 2 ，19 ，17 。

trx

申一言 ,drc2000 ，你这两条根本不懂数理的同伙，认真学习 luyuanhong 老师对本帖命题的精辟论述吧！！！
显而易见，只有毫无数学知识的无知者才会说此题没意思！

drc2000

下面引用由trx在 2010/11/01 00:46pm 发表的内容：
drc2000 解之正确，应为真正高手！！

下面引用由trx在 2010/11/01 04:37pm 发表的内容：
申一言 ,drc2000 ，你这两条根本不懂数理的同伙，认真学习 luyuanhong 老师对本帖命题的精辟论述吧！！！
显而易见，只有毫无数学知识的无知者才会说此题没意思！

[color=#FF0000]......

GLYZHJ

下面引用由drc2000在 2010/11/01 07:26pm 发表的内容：
......

自相矛盾。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/11/01 08:00pm 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2010/11/01 01:37pm 发表的内容：
...
故以下为一组通解:
  z=t
  x=(P+17)/t
  y=(Q+17)/t
(其中t,(P+17)/t ,(Q+17)/t  必须均为质数)
...
以下待继续....

既然说了"以下待续.."那就继续一下吧,
分析原式中的因数,可知道必然有一因式17,不妨就将z=17
将其代入...
做到了这一步,实在不必要再做下去吧
.....

ps:在陆教授面前,我当然无知.
尽我之能力,我也做到这步了...
我不会"哥猜"
我不懂"素数分布"
就连给"中科院"写信都不会
在本论坛内,没有任何猜测,没制造任何定理...
就是在您面前,我也只知道用简单的不定方程解决简单的数学问题...
确实无知....

drc2000

下面引用由trx在 2010/11/01 04:37pm 发表的内容：
申一言 ,drc2000 ，你这两条根本不懂数理的同伙，认真学习 luyuanhong 老师对本帖命题的精辟论述吧！！！
显而易见，只有毫无数学知识的无知者才会说此题没意思！

trx,整天研究素数分布,晕了头吧?
四楼中,我的话,你先仔细理解好了,再回言好不好?