f(x)=x^2-2ax^2/3，对 x1∈(2,+∞)有 x2∈(1,+∞) 使得 f(x1)f(x2)=1，求 a 取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题 f(x)=x^2-2ax^2/3，对任何 x1∈(2,+∞) 有 x2∈(1,+∞) 使得 f(x1)f(x2)=1，求 a 取值范围。

解  此题显然有错。

    因为 f(x)=x^2-2ax^2/3=x^2(1-2a/3) ，所以

               1=f(x1)f(x2)=(x1x2)^2(1-2a/3)^2 ，

                      x2^2=1/[x1^2(1-2a/3)^2] 。

    当  x1∈(2,+∞) 时，总可以取到充分大的 x1 ，使得

                     x1^2＞1/(1-2a/3)^2 。
    即使得

                     x1^2(1-2a/3)^2＞1 。

    也就是使得

                 x2^2=1/[x1^2(1-2a/3)^2]＜1 。

    显然，不可能找到 x2∈(1,+∞) ，使得上式成立。