《一个非常有趣的数字问题》的证明

费尔马1

求证：若d=uv（u^2-v^2）,其中，u、v为互质的奇数，且u>v，则d一定是24的倍数。
一、先求证，当u、v其中之一是3的倍数时，u^2-v^2是8的倍数。
证明：
⑴当u=3j时，则v=3j-2k，其中，j为奇数，k为正整数。
u^2-v^2=（3j）^2-（3j-2k）^2=4k（3j-k）
①当k为偶数时，4k=4*2m=8m，
m为正整数；
②当k为奇数时，3j-k是偶数，
则4（3j-k）=4*2m=8m。
⑵当v=3j时，则u=3j+2k，其中，j为奇数，k为正整数。
u^2-v^2=（3j+2k）^2-（3j）^2=4k（3j+k）
①当k为偶数时，4k=4*2m=8m，
m为正整数；
②当k为奇数时，3j+k是偶数，
则4（3j+k）=4*2m=8m；
二、再求证，当u、v都不是3的倍数时，（u^2-v^2）是24的倍数。
证明：
所有大于3的奇数都可表为6的倍数加减1。
设u=6k±1,v=6n±1,其中，k、n为正整数，且k>n。
⑴u^2-v^2=（6k+1）^2-（6n+1）^2
=12（k-n）[3（k+n）+1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k-n=2m
∴12（k-n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k+n是奇数，
而3（k+n）+1=2m
∴12[3（k+n）+1]=12*2m=24m；
⑵u^2-v^2=（6k-1）^2-（6n-1）^2
=12（k-n）[3（k+n）-1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k-n=2m
∴12（k-n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k+n是奇数，
而3（k+n）-1=2m
∴12[3（k+n）-1]=12*2m=24m；
⑶u^2-v^2=（6k+1）^2-（6n-1）^2
=12（k+n）[3（k-n）+1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k+n=2m
∴12（k+n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k-n是奇数，
而3（k-n）+1=2m
∴12[3（k-n）+1]=12*2m=24m；
⑷u^2-v^2=（6k-1）^2-（6n+1）^2
=12（k+n）[3（k-n）-1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k+n=2m
∴12（k+n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k-n是奇数，
而3（k-n）-1=2m
∴12[3（k-n）-1]=12*2m=24m。
综合以上可知，命题成立。

费尔马1

求证：若d=uv（u^2-v^2）,其中，u、v为互质的奇数，且u>v，则d一定是24的倍数。
一、先求证，当u、v其中之一是3的倍数时，u^2-v^2是8的倍数。
证明：
⑴当u=3j时，则v=3j-2k，其中，j为奇数，k为正整数。
u^2-v^2=（3j）^2-（3j-2k）^2=4k（3j-k）
①当k为偶数时，4k=4*2m=8m，
m为正整数；
②当k为奇数时，3j-k是偶数，
则4（3j-k）=4*2m=8m。
⑵当v=3j时，则u=3j+2k，其中，j为奇数，k为正整数。
u^2-v^2=（3j+2k）^2-（3j）^2=4k（3j+k）
①当k为偶数时，4k=4*2m=8m，
m为正整数；
②当k为奇数时，3j+k是偶数，
则4（3j+k）=4*2m=8m；
二、再求证，当u、v都不是3的倍数时，（u^2-v^2）是24的倍数。
证明：
所有大于3的奇数（不含因子3的）都可表为6的倍数加减1。
设u=6k±1,v=6n±1,其中，k、n为正整数，且k>n。
⑴u^2-v^2=（6k+1）^2-（6n+1）^2
=12（k-n）[3（k+n）+1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k-n=2m
∴12（k-n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k+n是奇数，
而3（k+n）+1=2m
∴12[3（k+n）+1]=12*2m=24m；
⑵u^2-v^2=（6k-1）^2-（6n-1）^2
=12（k-n）[3（k+n）-1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k-n=2m
∴12（k-n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k+n是奇数，
而3（k+n）-1=2m
∴12[3（k+n）-1]=12*2m=24m；
⑶u^2-v^2=（6k+1）^2-（6n-1）^2
=12（k+n）[3（k-n）+1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k+n=2m
∴12（k+n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k-n是奇数，
而3（k-n）+1=2m
∴12[3（k-n）+1]=12*2m=24m；
⑷u^2-v^2=（6k-1）^2-（6n+1）^2
=12（k+n）[3（k-n）-1]
①当k、n都是偶数（或奇数）时，
k+n=2m
∴12（k+n）=12*2m=24m；
②当k、n一奇一偶时，k-n是奇数，
而3（k-n）-1=2m
∴12[3（k-n）-1]=12*2m=24m。
综合以上可知，命题成立。

费尔马1

老师们：以上证明过程当中，修改了一处，把“所有大于3的奇数都可表为6的倍数加减1。”改为“所有大于3的奇数（不含因子3的）都可表为6的倍数加减1。”

费尔马1

风花飘飘老师，你是说我的证明太没有价值了吗？请教您，你的a=2，b=1时d=24，这是“本源”，以后d的值就是24的倍数，我不明白你的这一论断，请您指教。