求整数解问题。

天山草

In[1]:= NSolve[{a^4 - 2*a^2 - 6*a^2*b^2 + 2*b^2 + b^4 + 1 == 0,
  0 < a < 999999999999999999999, 0 < b}, {a, b}, Integers]

Out[1]= {{a -> 1, b -> 2},
{a -> 5, b -> 2}, {a -> 5,   b -> 12}, {a -> 29, b -> 12}, {a -> 29, b -> 70}, {a -> 169,   b -> 70},
{a -> 169, b -> 408}, {a -> 985, b -> 408}, {a -> 985,   b -> 2378}, {a -> 5741, b -> 2378}, {a -> 5741,   b -> 13860},
{a -> 33461, b -> 13860}, {a -> 33461,  b -> 80782}, {a -> 195025, b -> 80782}, {a -> 195025,   b -> 470832},
{a -> 1136689, b -> 470832}, {a -> 1136689,   b -> 2744210}, {a -> 6625109, b -> 2744210},
{a -> 6625109,   b -> 15994428}, {a -> 38613965, b -> 15994428}, {a -> 38613965,   b -> 93222358},
{a -> 225058681, b -> 93222358}, {a -> 225058681,   b -> 543339720}, {a -> 1311738121,   b -> 543339720},
{a -> 1311738121,   b -> 3166815962}, {a -> 7645370045,   b -> 3166815962},
{a -> 7645370045,   b -> 18457556052}, {a -> 44560482149,   b -> 18457556052},
{a -> 44560482149,   b -> 107578520350}, {a -> 259717522849,   b -> 107578520350},
{a -> 259717522849,   b -> 627013566048}, {a -> 1513744654945,   b -> 627013566048},
{a -> 1513744654945,   b -> 3654502875938}, {a -> 8822750406821,   b -> 3654502875938},
{a -> 8822750406821,   b -> 21300003689580}, {a -> 51422757785981,   b -> 21300003689580},
{a -> 51422757785981,   b -> 124145519261542}, {a -> 299713796309065,   b -> 124145519261542},
{a -> 299713796309065,   b -> 723573111879672}, {a -> 1746860020068409,   b -> 723573111879672},
{a -> 1746860020068409,   b -> 4217293152016490}, {a -> 10181446324101389,   b -> 4217293152016490},
{a -> 10181446324101389,   b -> 24580185800219268}, {a -> 59341817924539925,   b -> 24580185800219268},
{a -> 59341817924539925,   b -> 143263821649299118},
{a -> 345869461223138161,   b -> 143263821649299118},
{a -> 345869461223138161,   b -> 835002744095575440},
{a -> 2015874949414289041,   b -> 835002744095575440},
{a -> 2015874949414289041,   b -> 4866752642924153522},
{a -> 11749380235262596085,   b -> 4866752642924153522},
{a -> 11749380235262596085,   b -> 28365513113449345692},
{a -> 68480406462161287469,   b -> 28365513113449345692},
{a -> 68480406462161287469,   b -> 165326326037771920630},
{a -> 399133058537705128729,   b -> 165326326037771920630},
{a -> 399133058537705128729,   b -> 963592443113182178088}}

不考虑负整数解哈！不知道楼主要不要负整数解。

天山草

原式可简化成 a^4 + (1 + b^2)^2 - 2 a^2 (1 + 3 b^2)

天山草

通解是下面这个样子：

天山草

通解中的一个：
例如 k=1 时，代入公式得 a=1,  b=2.
        k=2 时，代入公式得 a=5,  b=12.
        k=3 时，代入公式得 a=29,  b=70.
        k=4 时，代入公式得 a=169,  b=408.
        k=5 时，代入公式得 a=985,  b=2378.

天山草

通解中的另一个：
例如  k=1 时， a=5,  b=2;
         k=2 时， a=29,  b=12;
         k=3 时， a=169,  b=70;
         k=4 时， a=985,  b=408;
         k=5 时， a=5741,  b=2378;

天山草

因此，通解就是：

天山草

要注意，上面的通解公式中，a = 的后面是正负号。

天山草

如果正、负整数都要，则通解是：

In[101]:= a =.; b =.; Solve[{a^4 - 2*a^2 - 6*a^2*b^2 + 2*b^2 + b^4 +
    1 == 0}, {a, b}, Integers]

Out[101]= {{a ->
   ConditionalExpression[
    1/2 (-(3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]) - ((3 -
        2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^
      C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2])),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
   ConditionalExpression[
    1/2 (-(3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]) - ((3 -
        2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
     C[1])/(2 Sqrt[2]), C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
    ConditionalExpression[
    1/2 (-(3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]) + ((3 -
        2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^
      C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2])),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
   ConditionalExpression[
    1/2 (-(3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]) + ((3 -
        2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
     C[1])/(2 Sqrt[2]), C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
    ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
       C[1])/(2 Sqrt[2])) +
     1/2 ((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] + (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^
      C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2])),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
   ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
       C[1])/(2 Sqrt[2])) +
     1/2 ((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] + (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
     C[1])/(2 Sqrt[2]), C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
    ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
      C[1])/(2 Sqrt[2]) +
     1/2 ((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] + (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0],
  b -> ConditionalExpression[-(((3 - 2 Sqrt[2])^
      C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^C[1])/(2 Sqrt[2])),
    C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}, {a ->
   ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
      C[1])/(2 Sqrt[2]) +
     1/2 ((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] + (3 + 2 Sqrt[2])^C[1]),
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  b -> ConditionalExpression[((3 - 2 Sqrt[2])^C[1] - (3 + 2 Sqrt[2])^
     C[1])/(2 Sqrt[2]), C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0]}}