函数 f：Q→Q 满足 f(1)=2 ，f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 ，对任何 x,y∈Q ，求 f(x)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  函数 f：Q→Q 满足 f(1)=2 ，f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 ，对任何 x,y∈Q ，求 f(x) 。

解  用 y=1 代入 f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 ，得

    f(x)=f(x)f(1)-f(x+1)+1=2f(x)-f(x+1)=1 ，即有 f(x+1)=f(x)+1 ，对任何 x∈Q 。


    从 f(1)=2 开始，依次递推，可得

    f(2)=f(1)+1=3 ，f(3)=f(2)+1=4 ，f(4)=f(3)+1=5 ,……

    f(0)=f(1)-1=1 ，f(-1)=f(0)-1=0 ，f(-2)=f(-1)-1=-1 ，……

    总之，对任何 x∈Z ，有 f(x)=x+1 。


    对任何 x∈Q ，n∈Z ，从 f(x+1)=f(x)+1 可递推得

    f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2=f(x+n-3)+3=…=f(x)+n 。

   
    设 x=m/n∈Q ，令 y=n ，代入 f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 ，得

    m+1=f(m)=f(m/n×n)=f(m/n)f(n)-f(m/n+n)+1=f(m/n)(n+1)-f(m/n)-n+1 ，

    nf(m/n)=m+n ，f(m/n)=(m+n)/n=m/n+1 。

    所以，对任何 x=m/n∈Q ，也必有 f(x)=f(m/n)=m/n+1=x+1 。