研究四色问题中需要掌握的有关拓朴学和图论方面的知识

雷明85639720

研究四色问题中需要掌握的有关拓朴学和图论方面的知识
雷  明
（二○六年十月十一日）

我通过网上看，在研究四色问题的爱好者中，有一部分人对拓朴学和图论的有关知识还不太清楚或是不明白，所以我就有关图论中的一些基本的概念，编写了此《研究四色问题中需要掌握的有关拓朴学和图论方面的知识》一文，仅供四色爱好者们参考。
1、图：图是由若干个点（顶点）和点与点间的连线（边）组成的集合。图用G表示，顶点用v表示，边用e表示。顶点是第一位的，边才是第二位的。可以有无边的图，但没有顶点就构不成图。边是一条线段，线段的端点就是顶点；
2、完全图：图中所有的顶点间都有边相连的图就是完全图。完全图用KV表示，v是图中的顶点数；
3、相邻：两个顶点相邻，是它们之间有边相连；
图的三大要素（顶点，边和面，面在后面讲述）间的相邻关系，一般可以统一用“关联”一词表述，关联包含着相邻在内。一般情况下在顶点与顶点，面与面间用相邻，在顶点与面，边与面，边与边，边与顶点间用关联。
4、分子图：图中的一部分（也是一个图）或整流器个图都是原图的分子图；
5、团：在图中，把由完全图构成的分子图叫团。团用Kn表示,n是团中的顶点数；
6、最大团：图中所有团中顶点最多的团即是最大团。最大团用KN表示；
7、图的密度：图中最大团的顶点数叫图的密度，密度用ω表示；
图论里把最大团的顶点数有两种叫法：一是“团数”，二是“密度”。我取了“密度”一词。密度很明确，指的就是最大团中顶点的密集程度，反映了团中顶点数的多少；而“团数”则可以有多种理解：一是所有团的数量，二是每一种团（顶点数不同的团）的数量，三是最大团的数量。“团数”不可能理解为最大团的顶点数，所以我用了“密度”一词。
8、曲面的亏格：把“球”面上所“焊接”的“环柄”的多少或者“棒形饼干”面上所“挖去”的“孔洞”的多少定义为曲面的亏格。曲面上有几个环柄或孔洞，其亏格就是几。曲面的亏格用n曲表示；
由于曲面上的“环柄”或者“孔洞”数可以是任何自然数，所以，这里所说的曲面是一个定向的无限序列的曲面，如球面（包括椭球面）和平面，轮胎面和救生圈面，孔洞更多的“8”字形麻花曲面等。并不是指更高级的非定向曲面序列，如抛物面，双曲面，马鞍面，梅比乌斯带面，克莱因瓶面等。
9、平面与球面的亏格都是0：平面和球面上没有环柄或孔洞，所以其亏格是0。所以有n平＝n球＝0；
从测地学角度上看，平面与曲面是可以相互转化的。把平面无限的外延就交汇于一点，成了球面；把球面从其面上的一个点从内的内部投影到平面上，就是一个没有边界的平面，投影光源所在的那一点就是平面上的无限远点。
“石锁”面上有一个环柄，“轮胎”（或救生圈）面上有一个孔洞，所以其亏格都是1；
10、嵌入：把一个图画在一个曲面上时，如果除了图的顶点之外，再没有边与边相交叉时，就说该图可嵌入到该曲面上去，否则就是不可嵌入；
11、图的亏格：一个图可以嵌入不同亏格的曲面，其所能嵌入的曲面的最小亏格即是图的亏格。图的亏格用n图表示；
12、图的面：把图画在一个与其亏格相同的曲面上时，曲面被图中的顶点和边所构成的圈把曲面分成了若干个部分，这每一部分，就是图的一个面；
13、几种最基本的单图：上面已定义了“完全图”，现在再来看“孤立顶点”，“道路”，“圈”，“树”和“轮”等最基本的单图：
①　孤立顶点：不与任何边相邻的顶点叫孤立顶点，也叫平凡图，也是顶点数是1的完全图K1；
②　道路：若干个顶点，依次用边连接，但首尾却不相接的图就是道路。道路用Pn表示，n是道路中的顶点数，道路有奇道与偶道之分；
③　圈：一条首尾相接的道路就是圈。圈用Cn表示，n是圈中的顶点数，圈也有奇圈与偶圈之分；
④        树：没圈的图就是树；
    ⑤　星：星形图是一个中心顶点与若干个顶点相邻，但这若干个顶点间均不相邻的图。按其星点数的奇偶性，也可分为奇星和偶星；
⑥　轮：一个顶点处在一个圈的中心，并且与圈中的所有顶点都相邻的图就是轮。轮用Wm表示，n是轮沿的顶点数，轮也有奇轮与偶轮之分，轮的总顶点数是v＝n＋1。
轮还有另一种表示方法：即WV,v是轮的阶，阶是轮的总顶点数，也分奇阶轮和偶阶轮；只是这里的奇阶轮相当于上面的偶轮，而偶阶轮则相当于上面的奇轮；
任何一个图都是由这些最基本的单图作分子图构成的。
14、平面图：能嵌入平面的图叫平面图；
15、平面图的亏格：其可嵌入曲面的最小亏格是0，所以平面图的亏格就是0，同样的，可嵌入球面上的图的亏格也是0；
16、非平面图：不能嵌入平面的图叫非平面图；
17、非平面图的亏格：非平面图都不可嵌入平面（球面）上，所以其亏格都大于等于1的；
18、顶独立集：图中不相邻的顶点所构成的集合就是顶独立集：
19、顶独立集数：图所能分成的独立集的个数：
20、最小顶独立集数：一个图可以分成若干组顶独立集，其中顶独立集数最小的一组顶独立集中顶独立集的数量，就是最小顶独立集数；
以上的“顶独立集数”和“最小顶独立集数”是我自已定义的。
图论中把一个图所能分成的所有独立集中，顶点数最多的一个顶独立集中的顶点数叫“顶独立数”。这个概念很不明确，“顶独立数”不能表明是顶独立集数呢，还是每一个顶独立集内的顶点数呢，虽然也进行了定义，但还是不很明确。
21、顶点同化：把不相邻顶点凝结在一起，变成一个顶点的过程叫同化。
“同化”在图论里还有一种叫法，就是常说的“收缩”。但在图论中的收缩有两种意义，一是不相邻顶点间的收缩（相当于我这里的同化），另一是相邻顶点间的收缩。两种过程显然不同，用同一词显然是不太合适的。所以我把不相邻顶点间的凝结过程采用同化一词来描述。
22、同态：把图中两个不相邻顶点同化在一起后，所得到的图，就是原图的一个同态；
23、完全同态：把图经过若干次同化后，经过得出一系列的同态，最后得到一个所有顶点都相邻的、不可能再进一步同化的完全图，就是原图的完全同态；
24、最小完全同态：在一个图的若干个完全同态中，顶点数最少的一个就是原图的最小完全同态；
25、任意图的最小完全同态的亏格一定是小于等于该图的亏格的；
嵌入某亏格曲面上的图，同化时肯定是在该亏格的曲面上进行的，最小完全同态不可能再嵌入到大亏格的曲面上去；而最小完全同态也是一个图，它也是可以嵌入到不同亏格的曲面上的，但这些曲面的亏格是不会大于原图所嵌入的曲面的亏格的，其中最小的亏格就是图的最小完全同态的亏格，该亏格一定是小于原图所嵌入的曲面的亏格的；所以就有图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的结论。
26、曲面上可嵌入图的最大密度：把可嵌入某亏格曲面上的图的最大密度，就叫该曲面上可嵌入图的最大密度。曲面上可嵌入图的最大密度用Ω表示；也是该亏格图的最大密度；
27、平面（球面）上的可嵌入图的最大密度是Ω＝4；则平面图的最大密度也是4；
28、密度不大于4的图的亏格都是0，因为其可嵌入的曲面的最小亏格是0（平面和球面）；
29、轮胎（救生圈）面上可嵌入图的最大密度是Ω＝7；则亏格为1的图的最大密度也是7；
30、密度大于等于5但不大于7的图的亏格都是1，因为其可嵌入的曲面的最小亏格是1（轮胎面和救生圈面）；
32、图的色数等于图的最小顶独立集数；也等于其最小完全同态的顶点数；
因为每一个顶独立集中的顶点都是互不相邻的，可以着同一颜色；也因为最小完全同态的每一个顶点都是由不相邻的顶点同化而来的，这些顶点着同一颜色是可以的。
33、任何图同化时的最小完全同态的顶点数是大于等于其密度的1.5倍，而小于等于与该图同亏格的曲面上可嵌入图的最大密度，也小于等于同亏格图的最大密度值；
图同化后的最小完全同态的顶点数一定不会小于原图的密度，但是可以大于原图密度的。如圈的密度都是2，但奇圈的最小完全同态的顶点数却是3；轮的密度都是3，但奇轮的最小完全同态的顶点数却是4，这都说明了图的最小完全同态的顶点数有比图的密度大的可能。大多少，是有限的而不是无限的。
图的一个最大团外若有一条不可同化道路时，该道路中就有一个顶点同化不到最大团中去。在上面说的奇圈和奇轮中，对于圈中的每个一个K2和轮中的每一个K3来说，除其以外所剩的顶点和边，就是该K2团和K3团的一条不可同化道路，所以才会产生奇圈和奇轮的最小完全同态的顶点数比其密度都大1的结果。对任何顶点数的最大团，都可能存不可同化道路，不只是K2和K3。
若有S条不可同化道路构成了“联”时，就有S个顶点同化不到最大团中去，该S个顶点因其原来在联中就相邻而不可再同化为一个顶点。又因为S条道路构成的联的密度是各条道路密度的和，每条道路的密度都是2，所以S条道路的联的密度就是2S。关于图的联，这里先简单的说明一下，后面还要专述。两个图的联是一个图中的任一个顶点都与另一个图中的任何顶点都相邻而构成的图。
这S条道路的联也是图中的一个分子图，其密度是决不会大于图的密度的，所以就有2S≤ω，即S≤ω/2，道路的条数应是整数，所以还得向下取整为S≤[ω/2]。该图的最小完全同态的顶点数就是v≤ω＋ω/2≤[1.5ω]，但不能大于与图相同亏格的曲面上可嵌入图的最大密度，即有v≤[1.5ω]≤Ω。如果[1.5ω]＞Ω，则图的亏格就发生变化了，这里是在图的亏格一定的情况下进行计论的。
比如，有的密度是4的图的最小完全同态虽是K5，但可以证明该图是一个非平面图，其亏格是1；不仅如此，还有最小完全同态是K4的图（当然该图的最大团的顶点数和密度一定是不会大于4的）也是非平面图的，其亏格也是1。从这里也可以看出，图的最小完全同态的亏格是不会大于原图的亏格的。
34、不同亏格的曲面（多阶定向曲面）上图的欧拉公式：v＋f－e＝2（1－n），式中，v，e，f，n，分别是多阶曲面上图的顶点数，边数，面数和亏格（证明略）。
35、某一亏格的曲面所能嵌入的同亏格的图的密度：最大是该曲面上可嵌入图的最大密度ω＝Ω，最小是ω＝[Ω／1.5 ],即[Ω／1.5 ]≤ω≤Ω；ω小于[Ω／1.5 ]或大于Ω，图的亏格就会发生变化。
36、不同亏格的曲面（多阶定向曲面）上可嵌入的图的最大密度Ω：由于完全图的密度就是其顶点数，所以曲面上可嵌入的图的最大密度就是可嵌入的最大完全图的顶点数V。公式为：V≤[（7＋√（1＋48n））/2 ]，推导如下：
对于任何v≥3的图都有3f≤2e的关系，把f≤2e/3代入多阶定向曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n），得e≤3v－6（1－n）（v≥3），这就是多阶定向曲面上图中顶点与边的关系。再把完全图的边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入该式中，得v（v－1）/2＝3v－6（1－n），整理后得一元二次不等式v2－7v＋12（1－n）≤0。解这个一元二次不等式，得其正根是v≤（7＋√（1＋48n））/2。这就是不同亏格的多阶定向曲面上可嵌入的最大完全图的顶点数。
把平面（球面）的亏格0带入上式中得，可嵌入亏格为0的平面（球面）上的最大完全图Kv的顶点数v＝4，即可嵌入亏格为0的平面（球面）上图的最大密度是Ω＝4；把轮胎（救生圈）面的亏格1带入上式中得，可嵌入亏格为1的轮胎（救生圈）面上的最大完全图Kv的顶点数v＝7，可嵌入亏格为1的轮胎（救生圈）面上图的最大密度是Ω＝7，等等，有一个亏格n，就对应有一个最大完全图的顶点数的v和一个最大密度值Ω。
37、不同亏格的曲面（多阶定向曲面）上可嵌入的同亏格图的密度的最小值：即ω＝[Ω／1.5 ]＝[（7＋√（1＋48n））/（2×1.5）]；
把0和1分别代入上式中去，可得到：可嵌入亏格为0的平面（球面）上图的密度的最小值是ω＝2（是2而不是1的原因是因为在推导多阶定向曲面上可嵌入图的最大密度Ω时的限制条件是图的顶点数v≥3），可嵌入亏格为1的轮胎（救生圈）面上图的密度的最小值是ω＝4，的却也存在着密度是4的而不是平面图的图。
38、图的最小完全同态的亏格不大于其亏格的再证明：
图的最小完全同态的顶点数是小于等于该曲面上可能嵌入的图的最大密度的，即不大于Ω，所以这个最小完全同态也一定是能够嵌入该亏格曲面上的图，甚至是更小亏格的曲面上的图。如K3，3的亏格是1，但其最小完全同态K2的亏格却是0。
还可以这样来理解：一个图的密度是ω1，最大团是Kω1，其最小完全同态是Kω2（ω2≥ω1），密度是ω2，其可以嵌入亏格为n的曲面上，但这个ω2一定是小于等于亏格是n的曲面的可嵌入的最大密度Ω的。把这个最小完全同态按同化时的相反方向返回到原图时，这个图一定也是嵌入在这个亏格是n的曲面上的。这也能说明图的最小完全同态的亏格是不会大于其亏格的。
39、图的运算：图的运算除了前面讲的“同化”外，还有以下多种：
①　并：两个图的并把两个图变成一个图的过程，图的顶点数，边数都没有发生变化，只是少了一个无限面，图中的最大团与密度都没有发生变化；
②  联：两个图的联是每个图中的任一个顶点都与另一个图中的任何一个顶点都相邻的图，图的顶点数虽未变化，但增加了大量的边，图的最大团的顶点数和密度均成了原来两图最大团顶点数之和和密度之和。
③  另外，图的运算还有“加边”、“去边”、“增点”、“折点”等。
40、环：一条边由一个顶点出发，最后又返回到该顶点，即边的起点和结点是同一个顶点的边，这样的图或边就叫环；
41、平行边：在两个顶点间存在多条边的现象就叫平行边。
42、简单图（单纯图）：不存在环或平行边的图就叫简单图（单纯图）；
43、多重图：含有平行边或环的图就叫多重图；
44、度：顶点所连边数的多少就叫度；
45、孤立顶点：度为0的顶点叫孤立顶点；
46、悬挂顶点：度为1的顶点叫悬挂顶点：
47、悬挂边：连结悬挂顶点的边叫悬挂边；
48、桥边：从图的一部分顶点到另一部分顶点去时都必须经过的唯一的一条边，就是桥边，悬挂边也是桥边。
49、正则图：各顶点的度都相同的图叫正则图，如地图就是3—正则图，地图的每个顶点的度都是3；
50、连通图：从图的任何一个顶点可以到达图的其他任何顶点的图就是连通图；
51、多分支图：从图的任何一个顶点不能到达图的其他任何顶点的图就是非连通图，即多分支图；也可以说，由多个连通图的并构成的图就是多分支图；连通图是只有一个分支的多分支图。
52、图值函数：把图的顶，边，面分别作为新的顶点，再按其原来的关联关系作新的边，所构成的新图就叫原图的图值函数：
①  边图（线图）：把原图的边作为新的顶点的图；
②        全图：把原图的顶点和边都作为新的顶点的图；
③  对偶图：把平面图的面作为新的顶点的图；与线图（边图）相对应，也可以叫“面图”；
③        整图：把原图的顶点、边和面都有作为新的顶点的图；
等等。根据不同的要求，可以作出各种不同的图值函数来。
53、极大图：所有面都是三角形（三边形，3—圈）的图叫极大图；3—正则图（地图）的对偶图就是极大图；
54、二分图：整个图的顶点分为两个集合，集合内的顶点均不相邻，只允许一个集合中的顶点与另一集合中的顶点相邻的图叫二分图，一个集合中的任一个顶点都与另一个集合中的所有顶点都相邻的二分图，叫完全二分图，如K3，3就是一个完全二分图；
图的分类中，除了在上面我们讲过的许多种以外，还有无向图与有向图之分；多分支的树图就是森林；自对偶图，即其对偶图仍是其自身的图，如正四面体所对应的图就是自对偶图；互对偶图，即甲的对偶图是乙，而乙的对偶图又是甲，如地图与极大图就是一对互对偶图；繁星图，即若干个孤立顶点构成的图；等等。
55、着色：给图中的各元素（顶点，边，面）着以不同的颜色，使得相关联的元素具有不同的颜色，这就是图的着色；
图的着色有多种，但都可以转变成给顶点的着色。比如，边着色就是对其线图的顶点着色；对顶点和边同时着色就是对其全图的顶点着色；面着色就是对其对偶图的顶点着色，如地图——3—正则图——的面着色就是对其对偶图——极大图——的顶点着色；等等。所以研究图的着色时，主要是研究图的顶点着色。四色问题就是把对地图的面着色变成了对其对偶图的顶点着色。
56、图的着色数：简叫色数。就是一个图在满足了着色要求（相关联的元素不用同一颜色）后，所用的最少颜色数，色数用希腊字母γ表示。
57、赫渥特多阶定向曲面上的地图着色公式：γ≤[（7＋√（1＋48n））/2 ]。
我们虽然不知赫渥特的这个公式怎么来的，但我们可以通过多阶曲面上图的欧拉公式直接推导出来，见以上的第34条。
58、林格的从任意顶点的完全图Kv求其亏格n的公式：n＝{（v－3）（v－4）/12 }（v≥3）。其从多阶定向曲面上图的欧拉公式的直接推导过程如下：
在34条中我们得到了一个一元二次不等式v2－7v＋12（1－n）≤0，变形得v2－7v＋12－12n≤0，再变形得（v－3）（v－4）≤12n，得n≥（v－3）（v－4）/12，图的亏格是整数，所以还得向上取整得n≥{（v－3）（v－4）/12 }，又因为图的亏格是其可嵌入曲面的最小亏格，所以这里只取等式即可，则有n＝{（v－3）（v－4）/12 }（v≥3）。
知道了完全图的顶点数，就可以用该公式求其亏格了。如K4和K7分别把4和7代入上式中，可得到K4和K7的亏格分别是n＝0和n＝1。
59、哈德维格尔猜测想：一个n色图，一定可以收缩（同化）成一个完全图Kn。这是一个很好证明的问题。因为图中用了n种颜色，用同一颜色的顶点在图中一定是不相邻的，当然是可以收缩或同化成一个顶点的，一共n种颜色，肯定是收缩或同化成了一个完全图K n，这个K n就是这个图的最小完全同态。所以又有以下第60条；
60、任何图的色数等于其最小完全同态的顶点数；这也是哈拉里得出的结论。
61、由图的色数等于其最小完全同态的顶点数，可以从多方面对四色猜测进行证明：
①  因为图的最小完全同态的亏格是不会大于图的亏格的，所以亏格为0的平面图的最小完全同态所亏格也一定是0，亏格为0的曲面（球面，平面）上的完全图顶点最大是4，所以就可以得出任何平面图的色数是不会大于4的；
②　在第34条中我们已得到了可嵌入任意亏格的曲面上的最大完全图的顶点数，可嵌入亏格为0的平面（球面）上的最大完全图的顶点数是4。平面图的最小完全同态的亏格仍然是0，该完全同态的顶点数也一定是不会大于4的。也就证明一任何平面图的色数是不会大于4的。
③　把平面图的亏格0代入赫渥特多阶定向曲面上的地图着色公式γ≤[（7＋√（1＋48n））/2 ]中得，γ≤4，这也能证明平面图的色数是不会大于4的。
总之，四色猜测的证明不光是只这几种方法，一定还有很多的方法的，不用计算机，不等什么新的数学理论的出现，就可以证明的。四色猜测并不神秘。
62、坎泊的地图的构形：一国与两个国家相邻，一国与三个国家相邻，一国与四个国家相邻，一国与五个国家相邻等；
63、不可免构形：坎泊已证明了任何地图中至少存在第62条中的五种构形中的一种，这五种构形在任何地图中是不可避免的一定会出现的。不存在所有国家都与六个或六个以上国家相邻的地图。
64、不可免集：由第62第中的五种构形所构成的集合，就是地图的不可免构形集，简称不可免集，这就是坎泊的地图的不可免集；
65、平面图的不可免集：由于地图的对偶图是极大图平面图，极大图的每一个顶点都处在一个轮的中心地位，所以平面的不可免构形就有：0—轮（K1，孤立顶点），1—轮（K2），2—轮（2—重K3），3—轮（K4），4—轮和4—轮。由这六种构形构成的集合就是平面图的不可免集。任何平面图中至少存在一个顶点的度是大于等于5的。没有所有顶点的度都大于等于6的平面图。
66、链：用两种颜色交替着色的道路就是二色链，简称色链或链；
67、连通链：一个构形中，两面三刀个不相邻的轮沿顶点的颜色构成的链，可以从一个轮沿顶点延续到另一个轮沿顶点，这样的链叫连通链；否则就是不连通链；
68、坎泊交换技术：为了改变某条链中某一顶点的颜色，把该链中所有顶点的颜色进行交换，这就是坎泊所创造成的颜色交换技术；
69、相邻链：两条链中有一种颜色是相同的链叫相邻链；
70、相反链：两条链中的颜色完全不同的链是相反的两条链；
71、链相交：两条相邻链中有一种颜色是相同的，所以这两条链可以有同一个起点，也可以在中间相交叉，也可以以上两种情况同时出现，这样的两条链就是相交链；
72、坎泊颜色交换技术使用的原则：若交换的目的是为了从构形的轮沿顶点中空出一种颜色给待着色顶点，则交换的必须是不连通链，交换了连通链是不能空出颜色来的；若交换的目的不是为了空出颜色给待着色顶点，只是为了改变轮沿顶点以外的某一顶点的颜色，则随使交换即可。
73、构形可约：通过使用权用坎泊的颜色交换技术，能够给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一，就叫构形可约。该构形就叫可约的构形；
74、地图四色猜测：任何地图的面着色数都是小于等于4的；
75、平面图的四色猜测：任何平面图的色数都是不大于4的；
76、泰特猜想：任何3—正则平面图（地图）的可4—面着色，等阶于其3—边着色；或3—正则平面图是可4—面着色的，当且仅当它是可3—边着色的；
77、任何3—正则平面图是可3—边着色的：
我的证明如下：图的边着色就是对其线（边）图的着色，3—正则平面图的线图是一个4—正则的平面图，每个顶点均连有4条边，最大团是3—圈（K3团），线图的密度是3，图是没有轮，最大的圈是4—圈。密度是3，说明该图的色数一定不会小于3；图中没有轮，说明该图K3团以外没有不可同化道路，其色数不会大于密度值3；因此该图的色数一定就是3。3—正则平面图的线图的色数是3，就说明了3—正则平面图的边色数也是3，这就证明了3—正则平面图是可3—边着色的。
78、泰特猜想是否正确：虽然3—正则平面图是可3—边着色的，但3—正则平面图的3—边着色，与其是否可4—面着色，是什么关系，还弄不明白，所以说泰特的猜想还只能是一个猜想，还没有被证明是否正确。如果是正确的，那么四色猜测也就证明是正确的了。
关于3—正则平面图是可4—面着色的，当且仅当3—正则平面图是可3—边着色的结论，在范益政所译沙特朗的《图论导引》和李建中所译韦斯特的《图论导引》中，还有李慰萱所译咐拉里的《图论》中，以及徐俊杰的《数学四色问题证明》的小册子中都有论述，但这几个论述都语句不通，不知是理论太深，还是什么别的原因，总之难以看明白，他们也都没有说清，我们也看不出同类3—正则平面图中面着色与边着色之间道底有什么关系。沙特朗和韦斯特还都认为四色猜测还没有得到证明，而徐俊杰则又用了大量的篇幅对四色猜测又证明了一番。


雷  明
二○一六年十月十二日于长安

注：此文已于二○一六年十月十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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