用二分法无限分割,究竟能不能得到全体实数集合?

门外汉

这个问题非常的纠结,我到现在还一直没弄懂这究竟是怎么一回事,总感觉这里面矛盾重重.
如果用二分法无限分割[0,1],所得到的任何一个数值必为有理数(即两整数之比),得不到任何一个无理数.
所以,用这种方法应该不会得到[0,1]区间全体实数集合(陆教授已经证实).
但是,用这种方法,在取极限的情况下,所得到的实数总数却是2^n,它与P(N)的数值相等.
康托尔已经证明了P(N)不可数.
按这种说法,得到的实数却是不可数的,难道是得到了全体实数集合?
如果得到的是全体实数集合,因为这种方法得不到任何一个无理数,那么,
在[0,1]区间不存在无理数?
或者是:有理数不可数?
先发这些吧,还有很多奇怪的想法,待请数学专家证实一下再发.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/15 00:20am 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/11/14 11:33pm 发表的内容：
这个问题非常的纠结,我到现在还一直没弄懂这究竟是怎么一回事,总感觉这里面矛盾重重.
如果用二分法无限分割,所得到的任何一个数值必为有理数(即两整数之比),得不到任何一个无理数.
所以,用这种方法应该不会得到　...

    首先，你要弄清楚，你说的“得到”这个概念，到底是什么意思。你必须要给出一个
明确的定义。
    其次，你要明白，一个集合是“可数”还是“不可数”，并不是根据它用某种方法
“能得到”还是“不能得到”来定义的。
    在 Cantor 集合论中，关于“可数”“不可数”，是这样定义的：

    如果可以找到一种方法，使得一个无穷集合中的全体元素，与自然数集合中的全体
自然数，建立一一对应的关系，那么，就说这个集合是可数的。
    如果不可能找到任何方法，使得一个无穷集合中的全体元素，与自然数集合中的全体
自然数，建立一一对应的关系，那么，就说这个集合是不可数的。

    按照这样的定义，由于我们可以找到一种方法，使得全体有理数与全体自然数建立一一
对应的关系，所以，全体有理数集合是可数的。
    按照这样的定义，由于我们不可能找到任何方法，使得全体实数与全体自然数建立一一
对应的关系，所以，全体实数集合是不可数的。

ygq的马甲

楼主的思路和方法,是有问题的

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/15 08:11am 发表的内容：
楼主的思路和方法,是有问题的

有什么问题,能具体说说吗?

门外汉

[这个贴子最后由门外汉在 2010/11/15 09:26am 第 1 次编辑]

回复陆教授:我所说的"得到",是指按照二分法无限分割[0,1],将每一个分割点的具体数值全都纳入到同一个集合之中,组成一个实数集合.
例如:第一步分割,分割点为1/2,将1/2纳入到集合之中.
第二步分割,分割点为:1/4,3/4,将这两个实数纳入到集合之中.
......
依此类推.
按照这种方法,集合中的每一个元素都将是两整数之比,不能得到任何一个无理数.
按理说:因为这种方法不能得到任何一个无理数,所以不能得到全体实数集合.
但是,当取极限时,这个集合的基数为2^n,它与P(N)的基数相等.
P(N)是不可数的,那么这个集合也是不可数的吗?

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/15 09:25am 发表的内容：
回复陆教授:我所说的"得到",是指按照二分法无限分割,将每一个分割点的具体数值全都纳入到同一个集合之中,组成一个实数集合.
例如:第一步分割,分割点为1/2,将1/2纳入到集合之中.
第二步分割,分割点为:1 ...

你（门外汉）的选取方式，是将“挑选”出来放进“蓝子”里，而别人的是“挑”剩下来的
注：有理数，是可以用你（门外汉）的选取方式的，
如果想要无理数，需要用【而别人的是“挑”剩下来的】
至于【逼近】，是另外的一种方式，但必须是正确的途径

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/15 09:34am 发表的内容：
你（门外汉）的选取方式，是将“挑选”出来放进“蓝子”里，而别人的是“挑”剩下来的
注：有理数，是可以用你（门外汉）的选取方式的，
如果想要无理数，需要用【而别人的是“挑”剩下来的】
至于【逼近】，是　...

对,您的这个比喻很恰当.
但是我认为,当取极限时,"蓝子"里的数将会是2^n,与P(N)的基数相等.
而且,"蓝子"里的数全都是有理数,没有无理数.
您有什么反对的意见?具体说说.

申一言

1.楼主的方法确实在”【0,1】得不到“无理数”，因为【0,1】区间没有“无理数”！
2.所谓无理数如 √n,n=1,2,3,,, 是基本单位圆 R=√2n,的内接正方形的边长.
              _________                                  _______
      √n=h=√rˇ2+rˇ2=[(√2n/2)ˇ2+(√2n/2)ˇ2]ˇ1/2=√n/2+n/2=√n,
   前几个素数基本单位是：
    √2，√3，√5，√7，，，
  这就是所谓的无理数！
  实际是《中华单位论》中的素数基本单位，是空间形中的具体线段的量！！
                 
                                 另一个门外汉----申一言。
         

门外汉

哇,申一言,太意外了,你早就知道[0,1]区间没有无理数?那么[0,2]区间,[0,3]区间也没有无理数了?
可是√2明明是在[0,2]区间啊.

申一言

下面引用由申一言在 2010/11/15 10:11am 发表的内容：
1.楼主的方法确实在”【0,1】得不到“无理数”，因为【0,1】区间没有“无理数”！
2.所谓无理数如 √n,n=1,2,3,,, 是基本单位圆 R=√2n,的内接正方形的边长.
              _________                           ...

注意！
         [0,1],      0＜m/n≤1,  n≥m,n≠0。
         [√2，√n]  1＜√n