几何一得之鞋刀容圆

ccmmjj

如图，阿基米德鞋刀是传承千年的著名几何图形，它有许多有趣的性质。现在我提一个不常见的问题，请用尺规作出其内切圆。

ccmmjj

风花飘飘 发表于 2016-10-30 17:05
作一圆切三圆，这个问题并不难。
属于CCC问题。

我有一个极简单方法，若风花说不难，试试看，和我的方法是否相同。

ccmmjj

公布答案吧。如下图，大半圆直径AB，C是两小半圆直径界点。
（1）将A、B分别绕A，B旋转90度到B'，A'，
（2）作射线A'C,B'C分别交两小半圆于E、F。
（3）将E、F两点分别与两小半圆圆心连线，交于O点，
O点就是所求圆的圆心。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

中国上海市

楼上 ccmmjj 的作图法，请证明一下。

ccmmjj

中国上海市 发表于 2016-11-5 13:32
楼上 ccmmjj 的作图法，请证明一下。

关于作图原理，等我发下个帖子的时候给出。

ccmmjj

我把作图原理说一下吧，也为我发出下一个证明解答做一个准备。
如下图，我先以C点为中心，对本图进行一个点对点的圆幂变换。将图中某个点变换为其与C反向的点，如P点变换成P'点，但使CP*CP'=CA*CB。
根据这个变换，上大半圆变成下大半圆。有趣的是左边小半圆变换为右边切射线BA'，右边小半圆变换为左边切射线AB’。若内容圆已知，则它的变换图象应该是下方一圆O'，(相关证明从略，有兴趣的同志可以参见斯坦纳的相关著作或自行证明）。因为公共点必然变换为公共点，此变换的圆当然与BA',AB'及大下半圆只有一公共点（相切）。于是变换圆O’容易作出。它和左右两平行线分别切于B',A'点，与下半圆切于弧中点。将切点B'、A'逆变换回去，也就是作射线B'C,A'C交两小半圆之点即是切点F、E。以下从略。

luyuanhong

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