平面（球面）上是不存在五色地图的——四色猜测证明方法之四

雷明85639720

平面（球面）上是不存在五色地图的
——四色猜测证明方法之四
雷  明
（二○一六年十月三十一日）

1、多阶曲面上两均相邻的区域的个数及其着色数
设在某亏格为n的曲面上有一个γ色的地图，按坎泊的思想，那么就应该存在一个“国数最小的”γ色地图。这个“国数最小的”地图中也就应有γ个“国家”（这个“国数最小的”地图中的“国家”数γ，实际上就相当于图的最小完全同态的顶点数）。
设这个“国数最小的”地图中的区域数（即“国数”）为f，每一个区域都与别的f－1个区域相邻，每一个区域都有f－1条边界线，f个区域的总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这条边界线中每条边界线都是计算了两次的，所以就有2e＝f（f－1）；又因为地图是一个3—正则图，即每一个顶点都连着3条边（即所谓的“三界点”），所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2，即2e＝3v，从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系。用区域数（即面数）f来表示顶点数v和边数e，则有v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2。把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2代入到多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2－2n则得到
f2－7f＋12（1－n）＝0                        （1）
解这个关于“国数最小的”地图的区域数f的一元二次方程（1）得正根是
        f＝（7＋√（1＋48n））/2
因为区域数必须是整数，所以上式还得向下取整，得
        f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞                 （2）
式中用＜ ＞表示其中的数字向下取整。又因为f是两两均相邻的“国数最小的”地图的“国数”，即区域数，所以这个“国数最小的”地
图染色时也必须用与其区域数相同的颜色数，所以又有
        γ＝f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞             （3）
从以上的讨论看，这个区域数f只是某一亏格为n的曲面上“国数最小的”地图中的“国数”最大者。若从这个“国数最小的”地图中去掉一条边，或者去掉一个“三界点”顶点及其所连的3条边，该地图中的区域数就都会减少。这个“国数最小的”地图原来是一个区域染一种颜色，那么现在区域数少了，所用的颜色数也就会减少下来。所以上式还可以再增添上“不等式部分”，即
        γ＝f≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞             （4）
    2、平面（球面）地图中两两均相邻的区域的个数及其着色数
（4）式中当曲面的亏格为n＝0时，其两两区域均相邻的区域数和色数都是不大于4的，即γ＝f≤4，说明了平面地图中是不存在五个区域两两均相邻情况的。即平面地图中是不存在五色地图的。（4）式就是平面地图中两两均相邻的区划数，也是就是（平面）地图着色的色数，也即地图四色猜测。这就证明了地图四色猜测是正确的。
地图中两两均相邻的区域的个数不大于4（即不存在五色地图）还可以直接用平面图的欧拉公式来证明。把把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2代入到平面图的欧拉公式v＋f－e＝2中，则得到
f2－7f＋12＝0                                （5）
解（5）的一元二次方和得两个正根分别是
         f＝4和f＝3
均小于5，也说明了平面地图中只能存在3个或4个区域两两相邻，而不存在5个区域两两相邻的情况，即不存在五色地图。
3、平面图四色猜测也是正确的
按坎泊的思想，只要能证明平面地图中不存在五色地图，那么地图四色猜测就是成立的。现在已经证明了平面地图中的却不存在五色地图，所以地图四色猜想就是正确的。
地图的对偶图是一个极大图，地图的区域着色，就相当于给其对偶图的顶点着色，所以说地图四色猜测是正确的，极大图的四色猜测也就是正确的了。而由极大图经过去点或去边后得到的任意平面图对于极大图来说，色数只会减少而不会增加，所以任意图的色数也是不会大于4 的，平面图的四色猜测也是正确的。

雷  明
二○一六年十月三十一日于长安

注：此文已于二○一六年十月三十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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