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这是当代高斯王晓明发表的文章:
孪生素数普遍公式
有定理：若自然数Q与Q+2不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为孪生素数。这句话可以用公式表达： Q=p1m1+b1=p2m2+b2=.....=pkmk+bk 。(1) 例如Q=41=2m+1=3m+2=5m+1。 其中p1，p2，....，pk 表示顺序素数2，3，5，7，......。b≠0,和b≠pi-2。 若Q〈P(K+1)的平方减2，[注：p后面的1，2，3，.....，k，k+1是脚标，凡是字母后面的 数字和字母i,k 都是脚标] ，则Q与Q+2是一对孪生素数。 即最小剩余不能是0和pi-2.，例如Q不能是2m，3m+1，5m+3，7m+5，....，pimi-2。否则Q+2是合数。 （1)式可以用同余式组表示： Q≡b1(modp1)，Q≡b2(modp2)， .........，Q≡bk(modpk)。 (2) 例如，41≡1（mod2)，41≡2(mod3)，41≡1(mod5)。41<41+2）的平方减2.，所以41与41+2是一对孪生素数。 下面平方用“*”表示，即：㎡=m*.。 由于（2）式的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理)得知，对于给定的b值，（2）式在p1p2...pk范围内有唯一解。 仅从（1）式看不出什么素数的规律，一旦转入同余式后，整个线路就清晰起来，因为在孙子定理的照耀下，我们知道b≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去 p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，筛k次。b≠pi-2即是从p1p2p3...pk范围内筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，...，pkm-2形的数，筛k次。共2k次。 得知（1）（2）式在p1p2...pk范围内有： (2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2) 。（3） 个解。 孪生素数普遍公式的出处
例题
例如 k=1时，Q=2m+1，解得Q=3和5。知道3与3+2，5与5+2，是两对孪生素数。 求得了（3，3*）区间的全部孪生素数。 例如 k=2 时，Q=2m+1=3m+2 解得Q=5，11，17。17<5*-2，知道了5与5+2，11与11+2，17与17+2是3对孪生素数。 求得了（5，5*）区间的全部孪生素数。, 例如k=3时， ----------------------| 5m+1,| 5m+2，| 5m=4 | Q=2m+1=3m+2= |-11,41-|---17---|---29--|。 求得了（7，7*）区间的全部孪生素数。 k=4时，解得： ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|7m+6-| ------------------------------|---------|---------|---------|----------|--------- Q=2m+1=3m+2=5m+1=|--71----|-191---|--101---|--11----|--41--| ------------------------------|---------|---------|----------|---------|-------|- Q=2m+1=3m+2=5m+2=|--197--|--107---|--17----|--137--|--167-| ------------------------------|---------|---------|----------|---------|-------|- Q=2m+1=3m+2=5m+4=|---29---|--149---|--59----|--179--|--209-| ------------------------------------------------------------------------------- 求得了（11，11*）区间的全部孪生素数（8个小于121-2，即11*-2的解。） 即11，17，29，41，59，71，101，107这8个Q值与Q+2是孪生素数对。 仿此下去可以求得全部给定范围内的全部素数。 并且一个不漏地求得。 根据孙子定理得知，（1）（2）式在p1p2p3...pk范围内有(2-1)×(3-2)×(5-2)×....×(pk-2)个解。（p后面的1，2，3，...，k是脚标）。 例如K=3时在2x3x5=30内有（2-1）x(3-2)x(5-2)=3 个解。 孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。 下面的表格是50以内的数，我们用√50以下的素数2，3，5，7去筛，把2，3，5，7的倍数用圆括号“（）”圈起来，完成以后，再用“<>”把已经圈起来的数减2用<>圈起来。剩下的没有被圈起来的就是孪生素数Q与Q+2中的Q了。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| -----1-----|---<2>---|-----3-----|----(4)----|-----5-----|----(6)----|----<7>---|----(8)----|----(9)----|---(10)---| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| -----11---|--（12）-|---<13>--|--（14）-|-（15）--|-（16）--|-----17---|--（18）--|--<19>--|---（20--| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| ---(21)---|----(22)---|--<23>---|-（24）--|-（25）--|-（26）--|-（27）-|---（28）-|---29---|--（30）-| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| --<31>---|--(32)----|---(33)----|---(34)---|----(35)---|---(36）--|--<37>--|---(38)-----|---(39)--|---(40)---| -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| ----41----|----(42)--|--<43>----|---(44)---|---(45)----|--（46）-|--<47>--|---(48）---|-（49）-|--（50）-| --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 现在剩下除了1以外还有3，5，11，17，29，41一共有6个Q，就是这6个Q与Q+2都是孪生素数。 （方法由俄亥俄卫斯里大学王蕊珂提供）筛法与公式是等价的。 在k≥4时，人类已经不需要依赖埃拉托赛尼筛法求得素数，而是只要往表格里填写素数，速度比埃氏筛要快的多。例如，上表，只需把右下角的2x3x5x7=210 再减1，得到209，其他只要填写就可以了。
关于孪生素数猜想
孪生 素数猜想就是要证明K值任意大时（1）式（2）式都有小于p*k-2的解。有了这个孪生素数普遍公式，证明孪生素数问题就像做一道中学数学题一样容易。 这是希尔伯特说的。事实上也是这样。例如， 假设最后一对孪生素数是137与139，那么对于下式： Q=2m+b1=3m+b2=5m+b3=....=131m+b32=137m+b33=139m+b34. （4） 来说，就没有小于149*-2的解。(139是第34个素数）。b≠0，pi-2。若Q〈149-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。（4）式可用同于式组表示： Q≡1（mod2)，Q≡2(mod3)，...，Q≡b(mod137)，Q≡b(mod139)。（5） （4）式是说，Q与(Q+2)大于2，3，5，.......，137，139。并且与2，3，5，.....，137，139互素。如果Q小于149*-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。 可以分为几个步骤证明： [1]：我们将2×3×5×7×....×131×137×139按137×139为一个区间： [1，137×139]，[137×139+1，2×137×139]，...,，[2×3×5...137×139-137×139+1，2×3×5×....×137×139]。 共有2×3×5×....×131个区间。因为（4）（5）式的本质是从2×3×5×...×131×137×139范围内筛去 2m，3m，5m，...，131m，137m，139m形的数（筛34次，因为139是第34个素数）和3m-2，5m-2，....，131m-2，137m-2，139m-2形的数（筛34次）共68次。 [2]：我们只要证明：如果第一区间[1，137×139]无解，即149平方减2内无解，（因为137×139〈149平方减2），[也就是（4）（5）式在p*k内无解]。其它区间解的数目就不会超过2k个（此时k=34,139是第34个素数)。（见下面的“引理”）。 [3]：[（2×3×5×…×127×131）×2×34]<[（2-1）×（3-2）×（5-2）×…×（137-2）×（139-2）]。 一一对应：右式在上，左式在下.。左式左端的“2”移到右端，与2×34形成（2×2×34）。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| [（2-1）×（3-2）×（5-2）|(7-2)|(11-2)|(13-2)|(17-2)|(19-2)|(23-2)|(29-2)|.........|（137-2）|（139-2）] ---------------------------------|-------|--------|-------|--------|--------|--------|-------|--------|-------------|-------------| [--------------------------3-----|---5--|----7--|--11--|--13---|--17---|--19---|--23--|.........|----131----|（2×2×34)| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 即（5-2）对应3，（7-2）对5，。。。，（137-2）对应131，（139-2）对应（2×2×34）。 由于右式比左式多2项，所以造成了： [4]：每一项都是上端大于下端或者等于下端。造成了我们假设的解（下端）数目少于上端固有的解的数目（2-1）×（3-2）×（5-2）×....×（131-2）×（137-2）×（139-2），而上端解的数目是根据孙子定理得出的，与孙子定理相矛盾必然是错误的。这就是利用抽屉原则 ，（2-1）x（3-2）x（5-2）x.....x（137-2）x（139-2）好比抽屉，2x3x5x...x127x131x(2x2x34)好比信封，信封少于抽屉，至少有抽屉没有装信封。 是不是所有的pk都大于4k呢,，高斯的素数定理已经告诉我们：X/π(X)>lnX. 例如： 第169个素数是1009，1009/169=5.9>4； 第1230个素数是10007，10007/1230=8.13>4； 第50847534个素数是100，000，003，1，000，000，003/50847534=19.6>4；. 当然，第[3]点不等式中，左式左端的“2”也可以不移到右端。使（139-2）对应2×34。因为下面的分式： （2-1）x（3-2）x（5-2）x（7-2）x(11-2)x(13-2)x(17-2)x(19-2)x(23-2)x(29-2)x（31-2）x（37-2） -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=1.0866 *****************************************2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31 变成了： ----------------------------------------------------------------------------| [---1.0866--|--(41-2)--|--(43-2)--|..........|--(137-2)--|--(139-2)--| --------------|------------|------------|--------|-------------|--------------| [------1------|----37----|-----41----|..........|-----131----|--(2x34)---| ----------------------------------------------------------------------------|。 从k≥5起，所有的pk>2k。这很容易证明。因为p5=11>10=2x5.。k值每增加1，不等式左端至少增加2，右端仅增加2。 这个方法优越性十分明确，可以避免循环论证，每一步与前面一步都有着十分清晰而明确的关系。并且可以直接倒回原来的定理； 引理： “任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛K次后被筛数（或者未被筛数）相差不超过K个”。 说明：本筛法与埃拉托赛尼筛法不同，埃氏筛先用2筛，然后把2的倍数剔除掉；再用3筛，又把3的倍数剔除掉；再用5筛，.....。本筛法是已经筛过的数不马上剔除掉，而是做上标记，等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是，有一些含有几个不同素因子的数就要被筛几遍，例如“6 ”，就要被“2，”和“3，”各筛一遍。 证明：根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b不等于0，存在唯一整数a和r，（0≤r |
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发表于 2010-11-24 22:12
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