赫渥特的地图着色公式是正确的——四色猜测证明方法之十三

雷明85639720

赫渥特的地图着色公式是正确的
——四色猜测证明方法之十三
雷  明
（二○一六年十一月五日）

我们虽然不知道赫渥特的地图着色公式是怎么得来的，但我们却可以用严密的数学推导而得出该公式。
1、赫渥特地图着色公式的推导
顶点数v≥3的图都有3f≤2e（f是面数，e是边数）的关系，把f≤2e/3代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）（n是图的亏格）中得
    e≤3v－6（1－n）（v≥3）                     （1）
注意，这里对图的亏格可是没有任何限限制的。再把完全图边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入（1）式中得
v（v－1）/2＝3v－6（1－n）
v2－7v＋12（1－n）≤0                         （2）
解这个一元二次不等式（2），得其正根是
v≤（7＋√（1＋48n））/2  （v≥3）
由于顶点数v必须是整数，所以上式还得向下取整，得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）        （3）
（3）式中暂用＜ ＞表示其中的数字向下取整。这就是可嵌入亏格为n的曲面上的最大完全图的顶点数。因为完全图的色数γ就等于其顶点数v，即有γ完＝v，所以又有多阶曲面上图的色数是
γ图≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）      （4）
这就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式（其实这个公式我们在四色猜测证明方法之三《平面（球面）上可嵌入完全图的顶点数不大于4》一文中已经看到过），这里只是色数的一个界限。
2、四色猜测是正确的
上面的赫渥特的地图着色公式是适用于任何亏格的图的。四色猜测研究的对象是平面（球面）上的图的着色，平面（球面）图的亏格等于0，代入（4）式中得：γ平≤4；而七色定理是研究轮胎面（环面）上的图的着色，其亏格等于1，代入（4）式中得：γ环≤7。把其他的曲面的亏格代入（4）式中时，都可得到各亏格下的曲面上图的着色数的界限。四色问题研究的是平面图，正好平面图的色数的界限是≤4，这也就证明了四色猜测是正确的。
3、林格尔公式与赫渥特地图着色公式互为反函数
林格尔公式n＝〔（v－3）（v－4）/12〕（v≤3）是不同顶点数的完全图的亏格数（这里也暂用方括号〔 〕表示其中的数字向上取整）。它和赫渥特的地图着色公式同样都是上面（2）式中的一元二次不等式的另一种形式的解。在（2）式是v2－7v＋12（1－n）≤0里，其中有两个可变的参数，一是图的顶点数，一是图的亏格。两个参数都可作为自变量，对另一个作函数求其值。上面赫渥特的地图着色公式就是把图的亏格n作自变量，求某亏格n下的最大完全图的顶点数v值的公式；而林格尔公式则是把图的顶点数v作自变量，求顶点数是v的完全图的亏格n的，由于某一数量顶点的完全图的亏格只可能是一个，所以林格尔公式中只用了等式。这两个公式是互为反函数的。不能用来相互证明的。在沙特朗的《图论导引》一 中用了林格尔公式去证明赫渥特地图着色公式是不合适的。
4、赫渥特地图着色公式是没有附加条件的
当时赫渥特是怎么得到他的地图着色公式的，我们不可能知道，也可能是赫渥特自已的经验总结的公式吧。由于赫渥特本人对他的赫渥特图不能进行4—着色，所以即就是该公式对于亏格为0时，色数小于等于4，他也只能在公式的后面附加亏格大于0的条件。而后人在证明该公式正确与否时，也不加思索的在证明之前就排除了亏格等于0的可能，这是不应该的。沙特朗，韦斯特，哈拉里的证明中都是在未证明之前就排除了亏格为0的情况，那怎么能说明赫渥特的公式对于亏格为0的图是不适用的呢。我还认为这种可以经过严密数学推导而得到的结论，是不需要再进行证明的，因为推导过程中每一步都是符合逻辑的。
雷  明
二○一六年十一月五日于长安
注：此文已于二○一六年十一月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，