鞋刀容圆之续

ccmmjj

接前题，如图，过C点作AB垂线，分此鞋刀为左右两部分。上面两黄圆分别是鞋刀左右两部分之内切圆，下面一黄圆是过C点及前题那圆（如图之虚线圆）与两小半圆之切点E、F的圆。
求证：三黄圆相等。

ccmmjj

风花飘飘 发表于 2016-11-8 17:09
最近很忙，但是很佩服楼主把问题挖的这样深。

不客气，结论是前人有的，我只是独立做了认为漂亮的证明而已。
对这一题，还可顺便证明下面那个黄圆与AB相切。
在本坛中有平面几何之爱者不过数人而已，在下精力已大不如前，怕没有什么新东西拿出来以飨同好了。

ccmmjj

先写上一题的作图原理，本题再挂一星期。

ccmmjj

这是一个预备知识，为解题是有用的。如下图，这是两个圆O1、O2，它俩是位似的。不妨设位似中心为P(它是两内公切线AA'与BB'的交点),相似比可以看作PA/PA'=PB/PB'=R1/R2。对位似来说，C点的对应点是E，D点的对应点是F。O1的对应点是O2。也就是说PC/PE=PD/PF=PO1/PO2=R1/R2。
但是，它们还是圆幂变换的对应图形，也就是说它满足PC*PF=PD*PE=PA*PA'=PB*PB'=定值(有兴趣可以自行证明）。以P为变换中心，幂为PA*PA'的圆幂变换将圆O1变换为圆O2.反之亦然。这时C的对应点是F，D的对应点是E，这是可以理解的。
我们还可以看出来，这圆幂变换和位似变换有一对相同变换点，就是A与B，无论是圆幂变换还是位似变换都将A变为A',B变为B'，我们将要利用这一性质。还有一个有意思的问题是，圆心O1的圆幂变换点在哪里？如果我们习惯于线性变换的表述，自然会认为圆心O1的对应点当然是圆心O2.这是一个错误。找到正确位置并不是什么难事。网友们，盍兴乎来？

ccmmjj

先计算中间下面那个黄圆的半径。圆幂变换如前题。

由前，E点对应于A’，F点对应于B’，说明此黄圆的象是直线A’B’。由于A’B’∥AB,可以证明AB是此黄圆的切线。设过C点AB的垂线与黄圆和它的象A’B’分别交于T点及T’点，则T和T’是对应点。设半圆AC直径为2a，半圆BC直径为2b。

于是CT＝CA*CB/CT’＝2ab/(a+b)，也就是说此黄圆半径为ab/(a+b)。

再计算左边上面那个黄圆的半径

同上所设，通过圆幂变换，过C的直线是自对应的，半圆AC变换为射线。上半大圆变换为下半大圆。由相切关系，所以小黄圆的象是右下的一个虚线圆，切点Q变换为切点Q’。

计算CQ’^2＝(a+2b)^2-a^2=4b(b+a)

于是CQ^2＝(CA*CB)^2/CQ’^2=4a^2*b/(b+a)

由虚线圆半径为b，设黄圆半径为x,应用位似观点，x/b=CQ/CQ’

解出x=ab/(b+a)

对称的表达式说明右黄圆具有相同的半径。对比上面结果，所以三黄鸡是一样大的。

天山草

搬个板凳坐下，很有兴趣地听 ccmmjj 老师讲课。

ccmmjj

天山草 发表于 2016-11-18 03:56
搬个板凳坐下，很有兴趣地听 ccmmjj 老师讲课。

本问题解答已结束，有兴趣可以参见反演几何学教材，我这里说的圆幂变换，实际上就是教科书上的反演变换。对本问题的解答有疑问处可以提出讨论。

ccmmjj

喜欢几何的再琢磨琢磨。

天山草

在 6# 楼的第二个图中（已重画成本帖下图），小黄圆与下面虚线绿圆为什么是关于 C 点位似的？楼主没有说明。
也就是说，小黄圆的圆心 F、虚线绿圆的圆心 E、以及 C 点，为什么是三点共线的？