已知 A(0,0)，P 在 x^2+y^2=3 上，AB=5，AC=√7，BC=2√10，求向量内积 PB·PC 最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天山草

P 点在何位置的等价问题：

luyuanhong

因为

     BC^2 = (PC - PB)^2 = PC^2 - 2 PB·PC + PB^2 ，

所以

    PB^2 + PC^2 = BC^2 + 2 PB·PC = 40 + 2 PB·PC 。

可见，当且仅当 PB·PC 取得最大值时，PB^2 + PC^2 取得最大值。

   在第 2 楼中，已经求得 PB·PC 的最大值为 6√2 - 1 ，所以

PB^2 + PC^2 的最大值是 40 + 6√2 - 1 = 6√2 + 39 。

天山草

使用向量知识进行计算确实简单多了，下面是用笨办法搜寻数字解答, 求出近似值为：

当 P 点的幅角约为 211° 时（B 点放在横轴上），两个向量的点积最大。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。