[分享][推荐]圆锥曲线的共圆性质

ccmmjj

[这个贴子最后由ccmmjj在 2010/12/10 03:45pm 第 1 次编辑]

很久没有发新贴了，白看了许多 luyuanhong 老师及 elimqiu 兄等网友的好文章，心里一直有点过意不去。恰好前两天做一个小题得到一个副产品觉得还不错，写在这里，与诸朋友分享。证明以后发（如果没有朋友做出更好的话）
[color=#0000FF]定理：圆锥曲线上任意四点共圆的充要条件是其每两点所连直线的交角平分线平行于圆锥曲线的对称轴。

denglongshan

这样的结论可以用公理方法证明吗？

ccmmjj

我不太懂楼上的意思。你的意思大概是指纯几何法吧？关于圆锥曲线最系统的书是和欧几里得同时代的阿波罗尼斯写的，几乎使后人不能置喙。当时并无解析方法的出现。关于用综合几何方法研究圆锥曲线，是当然的存在。只是现行的教育没有采用，所以人们都不熟悉。我以后如有时间，可以写几篇相关贴子。但这个（主贴）结论，是我自己推出来的。不知道是对是错（我认为是对的），所以就写成“定理”。不知道是不是太草率？这里的几何学者，可以帮我查找一下，前人是否已有相同结论或帮我验证一下，这个结论是否正确。

ccmmjj

经过昨晚对此问题的分析和查索，基本上可以肯定这是前人已有的认识。不过它有两个推论是很有意思的，我不打算写证明了，有心之士可以去补证。
[color=#DC143C]推论1  两圆锥曲线若交于四点，则此四点共圆的充要条件是此两曲线的对称轴互相平行（或垂直）。
[color=#DC143C]推论2  圆内接四边形对边交角的平分线互相垂直。

如图；圆内接四边形ABCDAB与DC交于E，AD与BC交于F，ET与FT是角E与F平分线，则角T为直角。

denglongshan

下面引用由ccmmjj在 2010/12/12 07:43pm 发表的内容：
我不太懂楼上的意思。你的意思大概是指纯几何法吧？.

对。
用k表示共轭比，则容易证明kET^2=kFT^2=abcd,因此两条平分线平行或垂直，不知道如何证明平行还是垂直。

wangyangkee

哈，ccmmjj，不简单；是个数学政治家，是个政治数学家，，，
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=18355&show=0