[分享]可数集必为0测集，所以连续统不可数。

elimqiu

假定实数 a < b, 如果 [a,b] 是可数的，其元素可以排成一列 x(1),x(2),x(3),…
令 L = (b-a)/k, 那么 x(n) 是区间 I(n) = (x(n)-L2^(-n-1),x(n)+L2^(-n-1)) 的中点。
于是区间族 {I(n)} 覆盖了 [a,b]. 但 I(n) 的长度是 L2^(-n),所以应该有
0 < b-a ≤ L(1/2+1/4+1/8+…)=L=(b-a)/k → 0 (k → ∞)
这是荒谬的.所以[a,b]不可数。
这个简单的演示一方面证明了连续统不可数，另一方面证明了任意可数集必是0测集。
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以下的测度特指一维勒贝格测度。
简单说，测度是实数的一个子集族 M(R) 到 [0,∞] 的映射 m, 满足下面两条：
（1） m([a,b]) = b-a      (-∞< a < b < ∞)
（2）可数可加性：
     如果 {Ej} 是  M(R) 中两两不交的元素(R 的子集)的序列, 那么 m(∪Ej)=∑m(Ej)
     即 m(E1∪E2∪E3∪…)=m(E1)+m(E2)+m(E3)+…
关于m(R),我们指出以下性质：
（1） 任何区间都是 M(R) 的元素；
（2） M(R) 中可数个元素的并还是 M(R) 的元素
（3） M(R) 中任意二元素的差还是 M(R) 的元素
由此可推知 M(R) 也对集合的交乃至可数交封闭，每个单点集都是 M(R) 的元素。
一维勒贝格测度的理论就是构造并论证 M(R) 以及映射 m 满足上述性质，而上述性质自洽的理论。
M(R)的元素叫作勒贝格可测集，而 M(R) 是勒贝格可测集全体。
m(E) 叫作集合 E ∈ M(R) 的测度。0测集就是测度为0的集合。显然单点集皆为0测集。
可数无穷多个0测集的并显然还是0测集。
综上，勒贝格测度是朴素的长度概念的数学严格化和集论延拓。
[0,1] 是其单点子集的并 （也就是通常所说的线段由点构成），但[0,1]的测度1=m([0,1])
却不能表为其单点子集的测度的和。原因很简单，不可数无穷多个数的和是无法定义的。
换句话说 0 = 0+0+0+… 至多意味着可数无穷个0测集的并还是0测集。但我们已经证明了区间
不是可数无穷个0测集的并。
“线段是点构成的，线段的测度不等于‘点的测度之和’”这件事情毕竟还是难以消化的。
原因很简单，我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和，而且
部分不总是可和的！

elimqiu

上贴也可以认为是【长度是怎样炼成的】的一种概括。

申一言

   注意！
        纯粹数学是研究空间形的量（数）的科学！
        点不是形，当然就不是“数”，也就必然没有任何量，因此是0！
        点只是空间形所在的位置，（位数，位序，位项）因此点没有大小，形状！
        线是构成空间形的边缘，没有宽窄，粗细，只有基本单位的量，这个量要么是比例关系；要么是结构关系！比例关系是倍数关系；结构关系是构造关系之间的量与量之间的关系！
     在基本单位圆中： R=√2n,则r=√2n/2
        1.比例关系：
                    R:r=√2n:√2n/2=2:1
        人们说直径是半径的2倍！
        很少说直径比半径长？（非要说，也不能堵人家的嘴?)
       2.结构关系：
            hˇ2=rˇ2+rˇ2
                _____
            h=√2rˇ2=√2r.
      若比例关系：
           R:h=2r:√2r=2:√2
           Rˇ2：hˇ2=2ˇ2：（√2）ˇ2=4:2=2:1
      这就是外切正方形的面积是内接正方形面积的两倍！
     空间形的量就是这么定义的！
      1.基本单位  h=√n=1';,2';,3';,,,,
      2.单    位  hˇ2=（√n）ˇ2=n"
复数的实部和虚部分别是基本单位，只是虚部与实部不在同一个数轴（不在一个方向），但是在一个平面！
                _________
     「a+ib」=√aˇ2+bˇ2-------------------基本单位
      {「a+ib」}ˇ2=aˇ2+bˇ2---------------单位。
    当仅当 a=√Pn,b=√Qn时，
    则复数绝对值的平方就证明了哥德巴赫猜想成立！
     aˇ2+bˇ2=（√Pn）ˇ2+（√Qn）ˇ2=Pn+Qn=2n".
    显然单位论是纯粹数学的基础理论----元数学---证明论！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
在纯粹数学中哪来的长度呀？
只有在应用数学中才有长度，宽度，重量，质量，容积，浓度，克分子浓度，密度，酸碱度，温度，，，

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/12/11 01:00am 第 1 次编辑]

纯粹数学当然可以定义没有量纲的长度，测度等等。例如定义 m([a,b])=b-a 为区间 [a,b] 的长度等等。 正像纯粹数学里有单位但没有重量单位一样。
楼上的纯粹数学的概念太过狭隘，根本不能成为数学的基础。
另外，所称的哥猜不过是关于哥猜的再猜而已。

申一言

>>>所称的哥猜不过是关于哥猜的再猜而已。<<< 老师正确！ 因为没经过严密细致，无懈可击的证明！

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/12/11 00:44am 发表的内容：
纯粹数学当然可以定义没有量纲的长度，测度等等。例如定义 m()=b-a 为区间 的长度等等。 正像纯粹数学里有单位但没有重量单位一样。
楼上的纯粹数学的概念太过狭隘，根本不能成为数学的基础。
另外，所称的哥猜　...

一.中华单位系
  1.中华单位群
      N"=[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ2
1）基本单位群：
     (1) N';=(ApNp+48)ˇ1/2-6
         N';=H=√n,   n=1,2,3,,,
   前几项基本单位是：
      √1，√2，√3，，，
  或    1';  2';   3';，，，
   2）单位群：
     N"=[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ2
  前几个单位是：
      （√1）ˇ2，（√2）ˇ2，（√3）ˇ2，，，
或       1"         2"           3"，，，，，
   3）分数单位群：
    1/2
    1/3 2/3
    1/4 2/4 3/4
    1/5 2/5 3/5 4/5
     *   *   *   *   *
     *   *   *   *   *   *
     *   *   *   *   *   *   *
    1/n 2/n 3/n 4/n 5/n 6/n 7/n,,,(n-1)/n.
2.中华单位系-----银河数。
   Ω（N）=±[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ±n,  n=1,2,3,,,.
       老师扩充之后不知道中华单位系是否还狭隘？
                                                   谢谢！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
俺探讨的是结构数学，以及数学的结构！----抽象数学！
   不知您说的数学是什么？

elimqiu

还没有明白数学是什么。数学和算术的区别？

顽石

下面引用由elimqiu在 2010/12/11 00:07am 发表的内容： 假定实数 a < b, 如果 是可数的，其元素可以排成一列 x(1),x(2),x(3),…
令 L = (b-a)/k, 那么 x(n) 是区间 I(n) = (x(n)-L2^(-n-1),x(n)+L2^(-n-1)) 的中点。
于是区间族 {I(n)} 覆盖了. 但 I(n) 的长 ...

无赖el的““线段是点构成的，线段的测度不等于‘点的测度之和’”这件事情毕竟还是难以消化的。原因很简单，我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和，而且部分不总是可和的！”完全是错话！废话！ 如果承认【点的测度是0测度】与【点的长度是0长度】同义，【线段的测度】与【线段的长度】同义，并且承认el曾经说过点的测度为0，就不必故意说得玄而又玄！你上述的话其实就是： 【线段是点构成的，线段的长度不等于长度为0的点之和，这件事情毕竟是难以消化的。原因很简单，我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和，而且部分不总是可和的！】 把无赖el的废话，剥去欲盖弥彰的外衣，就是以下4句话： （1）有长度的线段是由长度为0的点构成的。 （2）线段的长度不等于0长度的点之和。与（1）矛盾无妨。 （3）我们直觉认为整体是部分之和。 （4）玄而又玄的常人难以消化的深奥玄觉认为，整体往往大于部分之和，并且往往不是相加出来的不可和的东西。因此（3）只是错觉而已。

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/12/11 04:15am 发表的内容：
还没有明白数学是什么。数学和算术的区别？

     俺探讨的是关于空间形的量的数学！
     不是康托的“集合论”？
      

elimqiu

下面引用由申一言在 2010/12/11 11:29am 发表的内容：
     俺探讨的是关于空间形的量的数学！
     不是康托的“集合论”？

数学需要处理序结构，代数结构，拓扑结构。你探讨的东西能成为这些东西的基础吗？