休闲几何之三半径

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如图，三角形ABC的外接圆O，半径为R。有两圆O1、O2交于A点且都与BC相切，切点分别是B、C，半径分别是r1、r2。
寻找三半径的数量关系并证明之。

天山草

三个圆的半径关系：三角形外接圆半径的平方等于另外两圆半径的乘积。

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天山草的解三角形的三角法完全正确。期待纯几何证明，纯几何证明漂亮简单。

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证明：由切点性质，O1B⊥BC ，∠O1BA＝90°－∠B，容易推出∠O1＝2∠B。
由圆周角与圆心角关系，∠AOC＝2∠B。即∠O1＝∠AOC，由等腰条件得
△AO1B∽△AOC，同理，△AO2C∽△AOB。
于是R/r1=AC/AB,  R/r2=AB/AC, 两式相乘即得R^2/r1*r2=1。也就是R^2=r1*r2。
证毕。