满足 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7 且 x6≤3 的非负整数解 (x1,x2,x3,x4,x5,x6) 共有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

怎麼用重複組合中的隔板法處理?

luyuanhong

题  满足 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7 且 x6≤3 的非负整数解 (x1,x2,x3,x4,x5,x6) 共有几组？

解  一般来说，求 x1+x2+…+xn=m 的非负整数解，可以用“隔板法”来做：

    问题相当于将 m 个球排成一列，然后插入 n-1 块隔板，将球分成 n 组（有些组可以为空）。

    球与隔板共 m+n-1 个物体，在其中选 n-1 个物体作为隔板，有 C(m+n-1,n-1) 种不同做法。

    所以，x1+x2+…+xn=m 的非负整数解共有 C(m+n-1,n-1) 组。

    在本题中，因为规定要有 x6≤3 ，我们可以让 x6 依次取值 0,1,2,3 。

    当 x6=0 时，x1+x2+x3+x4+x5=7 ，有 C(7+5-1,5-1)=C(11,4) 组非负整数解。

    当 x6=1 时，x1+x2+x3+x4+x5=6 ，有 C(6+5-1,5-1)=C(10,4) 组非负整数解。

    当 x6=2 时，x1+x2+x3+x4+x5=5 ，有 C(5+5-1,5-1)=C(9,4) 组非负整数解。

    当 x6=3 时，x1+x2+x3+x4+x5=4 ，有 C(4+5-1,5-1)=C(8,4) 组非负整数解。

    所以，本题要求的非负整数解的总组数为

             C(11,4)+C(10,4)+C(9,4)+C(8,4) = 330+210+126+70 = 736 。

fungarwai

fungarwai

要用隔板法可以考虑x6非负的情况减去x6≧4的情况

遇到x1+2x2+3x3=10这些隔板法也可以做到的，不过还是展开那个多项式比较方便

fungarwai

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。