平面图基本构形的分类

雷明85639720

平面图基本构形的分类
雷  明
（二○一六年十一月二十八日）

总体上看，平面图的5—轮构形可分为两大类：即坎泊构形（K—构形）和赫渥特构形（即H—构形）。这两类构形之主要区别是：在K—构形里，最多只有两条连通链（如A—C链和A—D链，或者B—C链和B—D链），且两链最多只有一个共同的顶点（如图1，a中着A色的顶点2或图1，b中着B色的顶点6）；而在H—构形里，最少要有两条连通链（如A—C链和A—D链），且两链至少要有两个共同的顶点（如图1，c中着A色的顶点2和顶点8。在各大类里根据各色链的不同分布，又可分为一些不同的亚类。

1、K—构形及亚类
①  无连通链的构形；
②  只有一条链通链的构形；
③  有两条连通链的构形。其中又有两种情况：一是两链只有一个共同的起始顶点（如图1，a），二是两链中途只有一个交叉顶点（如图1，b）；
注：这里的连通链，是指5—轮的对角顶点的颜色所构形的色链在该对对角顶点之间是连通的。坎泊早在一八七九年就已证明了这类构形都是可约的。
2、H—构形及亚类
①  可以同时移去两个同色的构形，图中A—B链和C—D链都是直链（道路）。其中也有两种情况：一是交换B—C和B—D是不分的先后次序的（如张彧典先生的Z2构形），二是交换B—C和B—D是必须分先后次序的（如张先生的第一、第三构形，以及第四至第七构形）。
②        不可同时移去两个同色的构形。这类构形又有以下几种情况：
㈠　有环形的C—D链，可以把两交叉链A—C和A—D链的公共顶点2A和8A分隔在C—D环内、外两侧的，如类赫渥特图型的构形，也即类似张先生的第二构形的构形，可从两链的公共顶点1A或8A起交换A—B，使原有的连通链断开，使构形变成K—构形而得解；
㈡　有环形的A—B链，可以把两交叉链A—C和A—D链的末尾顶点4D—5C与中途顶点6C—7D分隔在A—B环内、外两侧的，如类敢峰—米勒图型的构形，也即类似张先生的第九构形的构形，可从两链的末尾顶点4D或5C起交换C—D，或者从6C或7D起交换C—D，也都可使原有的连通链断开，使构形变成K—构形而得解；
㈢　既没有环形的A—B链，又没有环形的C—D链，如张先生的第八构形，既不能移去A、C、D，又不能同时移去两个B。那就只能先移去一个B，使构形转型，由原来的BAB型转化成DCD型（逆时针颠倒B—D）或CDC型（顺时针颠倒B—C），使构形变成以上的①、㈠、㈡三种类型的构形，再用相应的解法去解决。
3、四色猜测的证明
从上面对5—轮构形的分类看，所有的5—轮构形都是可约的，而4—轮和3—轮是可约的已不用再进一步证明。这就说明了平面图的不可免集中的各种构形都是可约的了，这样四色猜测也就得到证明是正确的了。

雷  明
二○一六年十一月二十八日于长安

注：此文已于二○一六年十一月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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