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与王晓明、唐子周比较对欧德斯猜想的证明
关永斌 关春河
（黑龙江省龙江县发达中学 161102）
摘要：通过与王晓明、唐子周比较对欧德斯猜想的证明过程，推动对欧德斯猜想的研究深入发展。
关键词：欧德斯猜想 勾股数公式 充分性 必要性
1950年，匈牙利数学家欧德斯提出一个猜想：对于一切n>1的正整数，方程
4/n=1/x+1/y+1/z (1)
均有正整数解x,y,z。
v 这个猜想一经提出，就引起了数学界的广泛关注。这个看似简单的问题，解决起来却很困难。尽管有许多人不断研究，其中也不乏许多知名的数学家，但问题始终没有得到彻底的解决。直到现在，中国数学院还在把它列为征解的数学难题之一。那么，解决这个问题究竟难在哪里呢?从这个猜想的内容不难看出，解决这一问题实质就是如何推导出求解方程（1）的正整数解的一般方法，我们把它记为f。但由于这是一个三元方程，而且可以使用的条件只有唯一的一个条件——n>1的正整数。如果使用数学符号来表示这个过程，那么它可以记为f:n→（x,y,z）。
像这样由一个方程求解三个未知数的问题，究竟应该如何进行求解过程?我们不妨先看看以前人们是如何解决类似问题的，例如勾股数问题。我们现在已经知道：勾股方程[1]
x^2+y^2=z^2 (2)
有正整数解x,y,z。
其解（x,y,z）的表达公式为：x=r^2-s^2 , y=2rs , z=r^2+s^2 ,
其中：r>s>0, (s,r)=1 ,2不整除r+s 。
若要证明这个结果，需要完成下面两个推导过程：
1）先证由公式给出（x,y,z）一定是方程（2）的本原解。（必要性证明）
具体地过程，就是把由公式表达出的一组正整数（x=r^2-s^2 , y=2rs , z=r^2+s^2）方程（2），一定能够推出方程（2）的左右相等。
2）再证方程（2）的每一组本原解（x,y,z）一定可以表达为公式。（充分性证明）
具体地过程，就是在方程（2）中，一定能够推得（x=r^2-s^2 , y=2rs , z=r^2+s^2）。
一般地，要想证明一个具有存在性的数学定理，就必须同时证明它的充分性和必要性。
通过比较欧德斯方程和勾股方程，我们不难看到，两者类似。但欧德斯方程比勾股方程多出一个常数项4/n。由于n 是任意正整数，而不同的正整数之间数学性质不同，因此，我们不可能对欧德斯方程给出一个统一的公式解！于是人们试图通过对正整数n进行分类的方法解决这一问题。经过几十年的努力探究和积累，人们已经对除了n=p=24h+1型素数之外的各种类型的欧德斯方程给出了公式解。那么当n=p=24h+1型素数时欧德斯方程是否也存在公式解?答案是肯定的。我们现在已经得到了这个公式.
当n=p=24h+1型素数时，方程（1）的正整数解为：
（n=p=24h+1型素数， x=6h+u+1 , y=v(6h+u+1)(24h+1)/A , z=v(6h+u+1)(24h+1)/B）
其中：u<6h , u为自然数。A>B，A，B，v<(12h+1)为正整数，
且满足AB|(6h+u+1)(24h+1),A+B=v(4u+3)。
事实上，当我们得到了这个公式后，就不难给出它的充分性证明和必要性证明。
我们把这个公式记为G.有了这个公式，我们就可以对任一个n=p=24h+1型素数，求得欧德斯方程的全部正整数解。利用计算机，我们得出了方程（2）在n<100000以内，每一个n=p=24h+1型素数的初始解。具体数据发布在《数学中国》网站，网址为http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5034
对欧德斯方程的一般解题过程，发表在《光明网站》的博文中，网址为http://blog.gmw.cn/u/24512/archives/2010/120692.html
2009年8月在深圳召开的第七届全国初等数学研究会上，我们的论文《破解Erdos猜想》获得三等奖，论文被收录大会论文汇编。
初等数学问题的奇妙之处，就是当问题未获得解决时，它会让人困惑不已，束手无措。而一旦问题获得解决，人们又会惊奇地发现，原来解决问题的过程竟是非常地简单。
现在，从网络上收寻到的资料中，我们能够看到，四川的王晓明，新疆的唐子周两人也曾公布过自己的研究结果，他们都宣称自己证明了欧德斯猜想。那么他们证明是否成立呢？我们不妨探讨一下。
首先，我们来分析一下王晓明的证明。
王晓明在博克上发表文章《巧证欧德斯猜想》（修改后更名为《欧德斯猜想命题转换》, http://blog.163.com/wangxiaoming_550/blog/static/92108291200902611628975/），给出了他对当n=p=4R+1型素数时的正整数解的公式：
P=4R+1 , x=AB , y=AC ，z=ABCP
我们不妨把这个公式记为W。王晓明认为公式W虽然不能求得n=p=4R+1型素数时的全部正整数解，但对普遍的n=p=4R+1型素数时一定都有这样的正整数解。但事实并非如此，例如：当n=p=4R+1=2521时，欧德斯方程有且只有以下9个解:
p x y z
2521,636, 70588, 5611746
2521,636,69748,131876031
2521,638,55462,804199
2521,638,51997,23833534
2521,644,30252,1217643
2521,652,18908,23833534
2521,658,14946,131876031
2521,748,4004,42899857
2521,1026,1634,55610739
但这9个解都不能表达为公式W的形式。值得一提的是，不能满足公式W的n=p=4R+1型的素数非常之少，目前我们仅发现这唯一一例。但这已经足以说明公式W不具有普遍性。那么问题出在哪里呢？我们看一下论文证明过程。“设X=AB，Y=AC，Z=ABCP，C〉B，使
4/p=1/AB+1/AC+1/ABCP” （3）
这说明，公式W并非是由欧德斯方程推导而来，而是通过假设直接得到的。因此，公式W的充分性并未得到证明。反之，若是把公式W代入欧德斯方程就得到方程（3），也无法推出其左右相等，因此，公式W的必要性也无法得到证明。综合以上不难看出，王晓明对欧德斯猜想的证明并不成立。从王晓明的论文不难看出，他是把部分欧德斯方程解的结构特征，误认为是全体欧德斯方程的结构特征，这就必然会得出错误的结论。
其次，我们再来探讨唐子周对欧德斯猜想给出证明。唐子周的论文《关于Erdos猜想的证明》发表在《新疆师范大学学报》2006年第4期。文中对n=4m-3(m=6R+1)型正整数时，给出了一个公式：
z=m+k，x=(d+h)/2, y=(d-h)/2
我们不妨把这个公式记为T。
把公式T代入方程欧德斯方程得方程
4/n=1/(d+h)/2+1/(d-h)/2+1/(m+k) (4)
显然，我们无法推知方程（4）的左右是否相等。因此，公式T的必要性无法得到证明。这就足以说明唐子周的论文不能成立。
那么，唐子周的论文是否证明了公式T的充分性？如果（x,y,z）是欧德斯方程的正整数解，那么(x,y,z)确实可以表达为（z=m+k，x=(d+h)/2, y=(d-h)/2）。但这并不能说明唐子周的论文证明了公式T的充分性。因为把(x,y,z)表达为（z=m+k，x=(d+h)/2, y=(d-h)/2）的形式，并不是由欧德斯方程推导出来的。而只是应用了整数的分拆性质。“任一个大于1的正整数一定可以分拆为另外两个正整数之和”，据此既可以把z分拆为z=m+k。“任何两个不同的正整数一定可以表达成为另外另外两个正整数的和与差的一半”，据此既可以把(x,y)表达成为（x=(d+h)/2, y=(d-h)/2））。因此，公式表达的是一组正整数的分拆属性，并不能表达欧德斯方程的本质属性。换言之，如果我们承认公式T能够完成对欧德斯猜想的证明，那么我们只需应用上述引号中的两个语句既可完成这个证明，唐子周论文中那么冗杂的论证过程是否还有意义？
事实是，公式T的表达形式是所有含有三个未知数的方程都能具有的形式。例如勾股数方程最小的一个解是（x=3,y=4,z=5）,我们取(m=3,k=2,d=7,h=1),就会得到（z=m+k，x=(d+h)/2, y=(d-h)/2）。这说明，在勾股数方程中我们也能够推导出公式T。这再次说明，公式T对解决欧德斯猜想毫无用处。
唐子周在网上讨论时声言自己是使用反证法证明了欧德斯猜想的存在性。我们又不妨再看一下这个“反证法”：
“把x = （d +h）2, y = （d – h）/2, k= ab/（4m – 3）- m 代入方程(2) 中，便可得出此方程(a, b 均为正整数)。”……“假定u,d,h为任何正整数时，转化出来的方程都不成立。”……推出矛盾。所以假定不成立……。
当方程不成立时，自然就是存在着矛盾。还有必要再进行什么推导？这样的“反证法”的实质，是先假设一个矛盾，然后再推出这个矛盾。这样的“反证法”显然没有任何意义。
另外，假如我们承认唐子周对欧德斯猜想的证明过程是正确的，我们不妨把其论文中的欧德斯方程替换成费尔马大定理的方程，那么，我们就会推出方程
x^n+y^n=z^n (4)
有正整数解（z=m+k，x=(d+h)/2, y=(d-h)/2）。显然，这是错误的。因为费尔马方程是没有正整数解的！
通过观察唐子周的论文不难看出，他是把正整数的分拆属性，误认为欧德斯方程解的属性，并且在证明过程中使用了自认正确的“反证法”。这就注定了其论文根本就不能成立。
通过分析王晓明的论文和唐子周的论文，会发现他们论文的一个共同点，那就是在对欧德斯猜想进行证明时，都是先提出自己的一个主观认识，（王晓明提出公式W,唐子周提出公式T。）然后再试图通过“创造”一个“数学理论”，用以保证自己的这种认识的“正确”性。其实这种思想本身就是错误的。数学虽然抽象，但它反映的却是客观规律。因此，它只能是被发现，不可能被“创造”。要想解决欧德斯猜想，只有对欧德斯方程切实完成f:n→（x,y,z），舍此之外，绝无它途。
参考文献：
[1] 潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]，北京大学出版社，1992。
作者简介：
关永斌，生于1980年，华中科技大学本科毕业。业余从事初等数学研究。
关春河，生于1954年，东北师范大学数学系函授毕业，中教一级，现任黑龙江省龙江县发达中学数学教师。业余从事初等数论研究。
作者邮箱：guanchunhe@126.com
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发表于 2010-12-19 10:28
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