[求助]十年未解完的方称

ysr

关于不定方称x^2-11y^2=1的所有整数解？
解：变形为x^2-1=11y^2,数列x^2-1除以11的余数的规律：
x^2：   1  4  9  16  25  36  49  81  100 ……
x^2-1： 0  3  8  15  24  35  48  80   99 ……
余数：  0  3  8   4   2   2   4   8    0 ……
  由于余数为0的项有x=11a+1，11a+10
  则有11y^2=(11a+1)^2-1=121a^2+22a    (1)
             (11a+10)^2-1=121a^2+220a+99   (2)
由（2）式得a=0时，y=3，
由（1）式得a=18时，a（11a+2）=3600=y^2，则y=60，
递推公式：
  由于a=m^2为平方数时，y=(11a^2+2a)^(1/2)=m(11m^2+2)^(1/2)恒为无理数（由于根号内的式子，符合非平方数公式）,故a必须取非平方数,如a=2m^2,则有：
   y=(11a^2+2a)^(1/2)=2m(11m^2+1)^(1/2),令m=y1=m1=3,则y2=m2=60,y3=m3=23880,y4=m4=3782639760,
  
y=2m(11m^2+1)^(1/2)= 3, 60,23880, 3782639760,……
x=(11y^2+1)^(1/2)=  10,199,79210,12545596810,……
有（2）得y=1197,x=3970
由递推公式可得到无穷解，但不是全部解。
此为本人2001。6。所解，其他还没有解出，方称见于旧版本《简明数论》潘承洞，潘承彪著，说该方称只能用实验的方法得出有限解，该方称有无穷解，有的书已证明，没有见到解的普遍公式，希望赐教！不知有没有用？
  能解决问题才显神功

drc2000

x^2-11y^2=1,pell不定方程,竟然十年...?

ysr

感谢楼上惠阅！本人愚笨，希望赐教！

luyuanhong

参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：

“佩尔方程——求方程 x^2-Ay^2=1 的正整数解”

http://www.mathchina.com/cgi-bin ... m=5&topic=11122

不定方程

通解：（10+3*11^(1/2)）^n=xn+yn*11^(1/2)

drc2000

下面引用由ysr在 2010/12/22 05:08pm 发表的内容：
感谢楼上惠阅！本人愚笨，希望赐教！

看看《谈谈不定方程》（柯召,孙琦）吧，一本数学科普书。

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2011/05/08 06:35pm 第 1 次编辑]

如果使用 Excel 工作表，较小数字的解就不必使用理论方法了，可直接求出15位数以内的全部解。

ysr

对于佩尔方程，图片上的比网上其他资料浅显简洁明了。

不过，连分数法繁琐，某些特殊类型的最小解可以有其他方法或公式求解(如下图所示的公式)，简单的方程可以用枚举法算出来，较大的数据甚至可以用电脑程序通过枚举法算出来。

ysr

这是网上找到的佩尔方程的解的递推公式，其中的最小解需要连分数法得到。
求最小解的其他方法待研究 有必要研究一下。

ysr

除了图片中的3个类型，还有如下一个类型是可以确定和证明的：
第四类： 对于标准方程 x^2-Ay^2=1
若A为N^2-1型的数，则x=√（A+1) ，  y=1 .
这是可以证明的，因为A+1 开方是整数，x和y的值代入原方程是成立的，等式两边相等的。
除了这四个，又搞出俩类型的佩尔方程的最小解公式，并用定理推导和证明了一下。
如下图片中的俩解是成立的，但公式是复杂的。  
还有其他类型待研究，感觉很有规律，没有得到证明，很有趣，有待研究和证明。