f(x) = |x|，到底符不符合利普西兹连续？为什么~~~THANKS

dodonaomiki

The function f(x) = |x| defined on the reals is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant equal to 1, by the reverse triangle inequality. This is an example of a Lipschitz continuous function that is not differentiable. More generally, a norm on a vector space is Lipschitz continuous with respect to the associated metric, with the Lipschitz constant equal to 1.

以上是，WIKI对这个函数的阐述！
但我看的，一头雾水、昏头昏脑~~~

dodonaomiki

直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）


以上来自百度，就是所谓的利普西兹连续の通俗解释吧

fungarwai

由三角不等式可见，f(x)=|x|在实数域上Lipschitz连续，Lipschitz常数=1。

|a|-|b|≦|a-b|

这是Lipschitz连续但不可微的一个例子。

广义地，在向量空间的范数||x||都Lipschitz连续且Lipschitz常数=1。

fungarwai

若存在Lipschitz常数K使得d(f(a),f(b))≦Kd(a,b)
则f(x)在该度量空间上Lipschitz连续

在R上，d(x,y)=|x-y|

luyuanhong

dodonaomiki

那么，我现在做一下老百姓的通俗理解，看看，行不行？



很显然的事，在x轴的正半轴，|x|=x,其导数，
或者说，斜率，
等于1！



然后，再来考量，x的负半轴，
|x|=-x，
它的斜率=-1


那么，统合整个数轴，
整个数轴望眼过去，
|x|的斜率≤1



所以，|x|的利普西兹常熟K=1

dodonaomiki

我就是不理解一点，


呵呵，
就是原点，
origin  point  (0,0)



观察图形，
直观的可以看到：是不光滑的！不光滑，怎么又可能是


李浦西子连续呢？

dodonaomiki

就实际的例子而言！


一个|x|
一个sinx



直观的看，他们有时递增，有时递减，
说的老百姓一点，
无非就是起起浮浮，


那怎么，可以说|x|这个函数的连续条件，来得更强悍呢？
是不是，一个的斜率≤1，

另一个的斜率，可以变动到无穷大的缘故？