设 t 为大于 2 的整数，求证：满足方程 [√n]+[n^(1/4)]=t^2 的整数共有 2t^2-2t+3 个

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

来秀四楼

不妨设［√n］=x ［n¼］=y
所以x+y=t∧2
因为y^2≤x<（y+1）^2
所以y^2+y≤x+y<(y+1)^2+y
即y^2+y≤t^2<(y+1)^2+y
因为(t-1)^2+t-1≤t^2<t^2+t-1因为y为整数
所以y=t-1
因为x+y=t∧2
所以×=t∧2-t+1
因为［√n］=x ［n&#188;］=y
所以①×^2≤n<(x+1)^2
②y^4≤n<(y+1)^4
因为①式范围小于②式
所以(t^2-t+1)^2≤n<(t^2-t+2)^2
因为n为整数
所以n的个数=(t^2-t+2)^2-(t^2-t+1)^2
            =2t^2-2t+3

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