数学哲学基本问题

elim · 发表于 2016-12-22 07:52

本帖最后由 elim 于 2016-12-29 19:32 编辑

(1) 什么是数学？
(2) 什么是数学真理？有没有数学真理？
(3) 数学与现实世界的关系是什么？

欢迎补充纠正

elim · 发表于 2016-12-22 08:00

本帖最后由 elim 于 2016-12-29 19:33 编辑

首先需要面对的是数学究竟是什么的问题。而这个问题就像“存在是什么”的问题一样，是普遍认为‘自明’，却最难找到公认的终极答案的问题。

人类自然语言一般地总是将一种活动和相应的学问用同一个名词来指称。于是数学的应用，问题和猜想，数学的研究发现，争论与数学理论等等常常都被泛称为数学。这使得哲学地界定何谓数学变得十分必要但又极具争议性。

就哲学本身来说，事实上所有的研究，分歧都可以归咎为哲学范畴的定义问题，这就是为什么现代哲学基本上就是语言哲学。人类从来没有在任何范畴上达成过一致。如果说人类的认识永远不会停留在一个水平上，那么哲学就永远搞不定任何基本定义。基于这种认识，哲学应该追求并满足于相对合宜的，即反映当下认知，尽可能具有前瞻性的定义。

现代数学理论的基本框架是探究数学的真理性的结果。人们发现，数学的真理性只能表现为相容性, 可证性，可构造性及可计算性，所以只对形式系统才有意义。所以能够谈论真理性的数学只能是形式系统。这导致哲学语境下的数学只能是某些形式系统。

xfhaoym · 发表于 2016-12-22 09:28

从来物理学与哲学总是互相掐架，没看过数学与哲学掐架．按量子力学的观点：看见的既存在，看不见的就不存在．这有点唯心主义．而唯物主义说的是不管看不看见，它是客观存在的．而不管是什观点，数学总能为它们服务．

jzkyllcjl · 发表于 2016-12-22 10:36

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2016-12-22 02:41 编辑

根号2的表达符号是√ 2 ，它代表以1为边长的直角三角形的斜边长，因此它是一个理想实数；但是这个符号没有明确表示出它与线段长度的度量单位（米）之间的关系。为解决这个问题，需要进行开方计算，但这个开方计算是永远算不到底的工作。从这个开方计算过程中，可以得到√ 2 的一系列近似值1.4，1.41，1.414，1.4142，……。这个数列可以简写为1.4142……，并称它为无尽小数。但这个无尽小数是永远算不到底，也写不到底的事物，它能够无限接近于√ 2 ，但它永远不等于√ 2 。因此，现行教科书中的等式 √ 2=1.4142……是违反实践的；无法证明的；也是无法被应用的；人们能用的只有近似等式√ 2≈ 1.4142，或√ 2≈ 1.41421356，√ 2≈ 1.4142135623730950488016887242097。

elim · 发表于 2016-12-22 10:54

jzkyllcjl 思想混乱．一贴多发，辞不达意．在此表示不予理会．

jzkyllcjl · 发表于 2016-12-22 11:03

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2016-12-22 03:12 编辑

形式主义者的公式 T={x∣x不属于x }招致了罗素悖论。
形式主义者的公式 N={n∣n是自然数 }， R={x∣x是实数 } 招致了连续统假设的大难题。

jzkyllcjl · 发表于 2016-12-22 11:18

形式主义者的表达式 √ 2=1.4142……是违反实践的；无法证明的；也是无法被应用的表达式；
人们能用的只有近似等式√ 2≈ 1.4142，或√ 2≈ 1.41421356，或
√ 2≈ 1.4142135623730950488016887242097，或……。

elim · 发表于 2016-12-22 12:39

本帖最后由 elim 于 2016-12-29 19:39 编辑

如何论证一个数学命题? 显然这个命题必须被无异义地被表达出来．

这就要求命题所提及的所有概念都有明确的定义．然而定义不过是将被定义的概念用更一般的，更基本的概念，加上适当的限制来界定的一个陈述．具有一般形式【A是具有性质X的B】．所以概念A的定义要求X, B 有明确的定义．不难理解，这种“寻根行为”不能无止境地进行下去，必须停止在某个水平．于是就有一些基本概念及基本性质(关系)是不被定义的．不被定义的这些概念，关系叫作元词，元谊．这些东西的数学意义虽然没有用定义给出，却被一些基本命题(公理)所揭示，所限定．

元词元谊公设(公理)加上数理逻辑，就构成一个形式系统．

例如欧氏几何中的点，线，面等就是元词(不加定义的几何对象)，“在...上 ”就是一个元谊(不加定义的关系)．“有且仅有一直线过给定的不同两点”就是一条公理．

由上可见，形式化是数学基础研究明晰性要求的必然结果．否定形式方法的唯一用处就是混淆是非．数学的形式化并不添加悖论，不相容性，不可解问题．除非这些问题在非形式化的数学里已经存在．

jzkyllcjl · 发表于 2016-12-22 16:30

elim 发表于 2016-12-22 04:39
如何论证一个数学命题? 显然这个命题必须被无异义地被表达出来．

这就要求命题所提及的所有概念都有明确 ...

你的叙述有道理。但具体问题就要具体分析。例如，在研究欧几里德的公设时。从他的第二公设“直线可以无限延长”出发，就可以推出：“在平面无限增大”的意义下，用极限方法推出只有一条平行线的定理，而罗巴切夫斯基的至少有两条平行线的公理只是在平面是有限大的情况下才成立的公理。这说明：只讲公理不讲点、线、面的形式主义是无法建立几何基础的。

elim · 发表于 2016-12-22 19:51

楼上的论点还是沒有真正懂得数学的形式化意义．欧氏几何与非欧几何是不同的形式系统，其不同恰是因为公理的不同．它们之间不存在你死我活的关系．正如整数环与m-同余类环没有你死我活的关系一样．

那种认为一个系统囊括全部数学的想法是完全错误的．相应地，物质世界只对应一种几何的认识是一种不可容忍的无知．

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