数列极限的定义、概念与应用

jzkyllcjl

定义6（数列极限的定义）：对于任何无穷数列{An} 与任意小误差界ε（误差界可以是任意正理想分数；也可以只取1/10^n 之类的正有理数），若有理想实数α及自然数N存在，使n>N时, ∣An-α∣<ε 成立 ，则称数列{An} 收敛，并称理想实数α为n 趋向于无穷大时，无穷数列{An} 的极限值（简称为极限）。记作：limAn=α 。
与现行数学分析的定义相比较，笔者对符号ε加上了误差界的具有实用意义的说明。此外，关于数列与其极限值之间的关系，笔者强调：极限值常常是数列无法达到的理想事物。例一，数列{1/n}与{2/n}的极限值都是0，但它们都不能达到0，现行数学分析 把这两个0的比作为不定式去研究是有用的，导数就是0比0型的极限。例二，关于芝诺的“勇士阿基里斯追不上乌龟”的悖论，吴咸在《怎样认识极限》一文中批判了“极限只是同潜无限（即潜无穷）打交道”的见解[7]；他用极限值可以到达的观点说明阿基里斯能追上乌龟，但实际上那个极限值是那个数列永远达不到数值。关于这个悖论，《非标准分析》最后一节中讲到：亚里士多德在他的许多著作中曾讨论过这个问题，他抛弃了实无限而接受了潜在的增长着的无限的概念；从百度网上孙逐明《芝诺悖论与东西方时空观》中也可以看到以下的论述。“芝诺悖论是西方连续时空观的产物。”这个悖论“诘难了关于时间和空间无限可分”；“如果时空是由离散的时段、空间粒子组成，那么阿基里斯不可能追不上乌龟。”例三，导数的物理意义认为：瞬时速度是路程函数对时间的导数，而导数又是一个极限值，那么如果要问自由下落物体按照瞬时速度v=2g运动的时段长是不是0呢？这就成为“既不能说是0，又指不出是哪个非0实数”的无法回答的问题。对这个问题，必须根据量子力学中的海森堡（Heisenberg Werner）测不准关系表达的测不准原理”[8]，而且爱因斯坦等物理学家还提出了修改的时空意见。这个意见认为：“应当存在着某种所谓细胞——空间与时间量子” 这种量子“简直太小了，任何计时器也不能测出那样的时间；如一亿亿亿分之一秒，对空间长度来说也是如此，一厘米的一亿亿亿分之一也是测不出来的”来回答。即下落物体按照瞬时速度v=2g运动的时段长是一个微小的时间量子的长度。这个问题可以说是：笔者对第二次数学危机的认识。
例一：使用法则 An=1/10^n，可以得到无穷数列：{1，1/10,1/10^2,…… }；这个数列可以简写为{1/10^n} ；这个数列的正常极限为0，这个无穷数列可以作为“近似计算过程中的误差界序列”。
例二， 1被3除是永远除不尽的工作，但这个除法过程中得到无穷数列 0.3，0.33，0.333，……，这个数列的极限是1/3. 这个数列可以简写为无尽小数0.333……。因此得极限性等式 1/3 =lim0.3333……。数学历史上的等式 1/3 =0.3333…… 是不严肃的、无法证明的、应当放弃的。

elimqiu

老头只有几个正整数，其他的还沒完成，所以他的极限定义按他的话说是虚假的，不可验证的，必须消除的．

jzkyllcjl

elimqiu 的话是虚假的。虽然自然数集合、整数集合都是人们无法将其元素写完的集合。虽然无穷数列  0.3，0.33，0.333，……，是写不到底的，但可以根据数列通项的性质，研究其极限。这个数列的极限是1/3. 这个数列可以简写为无尽小数0.333……。因此得极限性等式
1/3 =lim0.3333……。数学历史上的等式 1/3 =0.3333…… 是不严肃的、无法证明的、应当放弃的。

jzkyllcjl

elimqiu 的话是虚假的。虽然自然数集合、整数集合都是人们无法将其元素写完的集合。虽然无穷数列  0.3，0.33，0.333，……，是写不到底的，但可以根据数列通项的性质，研究其极限。这个数列的极限是1/3. 这个数列可以简写为无尽小数0.333……。因此得极限性等式
1/3 =lim0.3333……。数学历史上的等式 1/3 =0.3333…… 是不严肃的、无法证明的、应当放弃的。

elimqiu

老头的数列极限定义及通项掩盖了他坚持的只有几个自然数的事实，他的极限定义没有根据，因而泡汤．

elimqiu

老头的数列极限定义及通项掩盖了他坚持的只有几个自然数的事实，他的极限定义没有根据，因而泡汤．

jzkyllcjl

elimqiu 发表于 2016-12-30 11:43
老头的数列极限定义及通项掩盖了他坚持的只有几个自然数的事实，他的极限定义没有根据，因而泡汤．

我说的是：自然数是古代劳动人民已经建立的十进位自然数记数法的基础之上的符号串：0，1，2，3，……,n,n+1……,这个无穷数列是永远写不到底的事物。 把这数列中的所有数看作一个无穷集合时，这个集合不是人们能够写完其所有元素的集合。
不能因为我上边的最后一句话，就污蔑说我"只有几个自然数"  。

elimqiu

1)自然数与十进制，记数法没有直接关系．
2)老头说写不完就是完不成所以他只能完成几个数，根据老头的实践原则，他只有那几个数．

jzkyllcjl

叙述自然数公理体系之前，不能像文献[2]那样，事先承认有一种无穷集合的存在。而应当在古代劳动人民已经建立的十进位自然数记数法的基础之上去阐述所需要的自然数公理，具体叙述如下。
定义1.1(自然数的标准序列)  根据阿拉伯人提出的自然数记数法则，将自然数按照“从小到大”的顺序排列，得到的无穷数列
0，1，2，3，…， 11，…，n，n+1，…           (1.1)
叫做自然数的标准序列.
    由此出发，就可以在不使用集合语言的情况下，提出自然数的下述十条公理。

elimqiu

沒有自然数你排列什么？沒用“记数法”写出的东西不是不存在吗？老头这么说还是只有几个自然数啊，呵呵