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一种将全体正整数与全体正有理数一一对应起来的方法
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中学极重大根本错误：无穷数列必无末项
——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”：无最大自然数
黄小宁
【摘要】由“一一配对”常识证明了：自识自然数5千年来科学界一直认定的“无最大自然数”是极重大根本错误，{n≥1}不一定是非0自然数集N+而有可能是其真子（扩）集；无穷级数都有末项；存在欧拉使用的无穷数。不识“更无理”无穷数的数学自相矛盾，其目光太短浅、视野太狭窄从而远不能满足实际的需要，其对“无穷”的认识有极其重大根本错误。指出数轴R内各已知数点x均有无穷多与之无限逼近的用而不知的无穷数点x+△x，故R的已知数x全体仅是R的沧海一粟。强调教科书的重大错误所造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设中的重大错误所造成的经济损失。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷大自然数；推翻百年自然数公理和集论；扩充数域；级数论；变量的变域
本文揭示中学的论断a“各无穷数列{an}中的n>0的变域都是N+”是极重大根本错误。有“智叟”一看到标题是推翻5千年都没人能推翻的小学常识就认定：作者一定是想出名想到疯了从而以为自己是有回天力的超人。这是可以理解的，因有“科学”共识：有教授在发现数轴的结构存在使其久思不得其解的根本问题后不禁产生质疑：“这些事实不能不使我们反省道，是否我们的数学方法有问题？…[1]”。（“点是点集的一部分，然而长度为0的点能集合成有长度的线段”是典型的自相矛盾啊！）但又断言“是否可以幻想某天出现一个绝顶天才‘推翻天地重组起’另建一套数系，一改…？我们的观点是绝然否定的。…。因而只要不脱离这个宇宙（改换逻辑规律）就不可能有异想天开的事产生，人类科学已经走过来的脚迹就是实在的、可靠的，…[1]”“已被千百年实践检验的非常成熟的初等数学绝对不会有极重大错误”。
莱布尼茨：没有什么比看到发明的源泉更重要了。获“金山”远不如获“点金术”。“反科学”的神话般的太重大发现来自于太浅显的起码逻辑学常识：①已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换妻”必还是可一一配对。例如某实数轴线的点与相应实数已一一配对，现让与任何正数x配对的点e改为与-x配对即e的位置改由-x表示，…，它们还是可一一配对，只不过构成的新轴与原轴的方向相反罢了。②若有序集V从小到大的一切元x都有对应y>x则必至少有一数y>V一切元x。③若集A由一对对元组成而集B不是，则A≠B。“大道至简至易”。当然最根本的是来自“志不强者智不达”中的强志：不怕丢分数就怕丢科学地逆“竞分数而弃实学”不正学风而动地不怕当科学革命的“傻瓜、疯子”。
1.五千年都无人能识破此1，2，…，n，…有末项
本文所说的序列与级数都是无穷序列与无穷级数且序列的各数都非0。点序列（…），（…），…的每个项（…）都由3个点组成。即序列的各项可以是有穷序列，从而构成“有穷序列的序列”。定义：
数组序列——其项都是n≥2个数的数组。
n数序列——各项都是n个数的有穷数列的数列。
混合数列——并非各项都是n个数的数列。
序列中无非有两类项：奇数2n-1项与偶数2n项。点列（..），（…），…的各奇数项（..）都有2点，各偶数项都有3点，可称其为h1型序列；而（…），（..），…的各奇数项都是3点，各偶数项都是2点，可称其为-h1型序列；…。
集（数列）N+={（2n-1，2n）}（n=1，2，…）的第n=1，2，…对元（项）（2n-1，2n）有一对数。
可见就各项的组成方式及组成成员的多少来说序列与级数就有无穷多种类型。而人们只识其中的1种序列。
显然：任何类型的级数都同时也是单数级数，各2数序列同时也是单数序列，但反之就不一定了；由一对对元组成的集同时也是由一个个元组成，但反之就不一定了。——不识此重大真相的肤浅认识使人类自识自然数5千年来一直不知各项都是一对数的对数列（1，2），（3，4），…与混合数列1，（2，3），（4，5），…（有一项不是一对数）是不可分别包含同样多个正整数的根本不同的两数列而误以为其是同一数列。前列的奇数与偶数可一一配对从而有h性质：每一奇数x都有后一项x+1∈前列与之配对；而后列的1就没偶数与之配对，除非拆散某对数，原因是其奇数与偶数不一样多！由此推知其无h性质而必有一奇数x无后一项x+1∈后列与之配对，显然此x是后列的末项。
数列{1}=1，1，…的1都换为-1得{-1}中的-1与{1}中的1一样多使它们的所有数的和s=∑（-1+1）=0。一眼看出s=（-1+1）+（-1+1）+…=∑（-1+1）=0的原因是s中的1与-1可一一配对，而s+1=1+∑（-1+1）=1的原因是其中的1与-1不一样多从而不可一一配对——表明s+1的所有1组成{1}的项比其所有-1组成{-1}的项多，且仅多一个——表明此{n}的数可多于彼{n}的数——故前列中必有正无穷大整数n=n1>后列的一切n——故n1是无穷数列1,2,…，n1的末项——由此可知后列也必有末项。故“有胡子的不一定是爹。”，{n≥1}不一定是N+而有可能是其真子（扩）集。
故要注意此数列{n}与彼{n}不一定相同。
2.语文常识揭示百年自然数公理是百年失察的重大病句
“对任何非正数都有数比其大”是对的，但去掉句中非字就是病句了。同样，常识②表明小学“常识”：“对于一个不漏的每一自然数n都有对应自然数n+1>n”是重大病句：有自然数n+1>每一自然数 n。关键是连不识字的人也知“每一”的确切含义。
初中的“代表自然数的y=n+1>n=1，2，…中的n可从小到大、一个不漏地遍取所有自然数”就是说有自然数y可一个不漏地遍比每一自然数都大。否定此事实者暴露其连“每一”的含义都不懂。不识此数学表达式所表达的内容者如文盲不识字，是数盲。
3.太浅显“一一配对”常识证实太惊人真相：各无穷数列都有末项
h定理1：存在最大自然数。
证1：据常识①和集论常识“若A～N+则A的元都可配上自然数号码记为元1，元2，...”得：凡～N+的集G的元都必可有“配偶”∈N+，一个不漏！故G=N+～N+的非1元n+1都有配偶n∈N+（所有配偶n=1，2，…组成U）的同时G=N+的1也必可有配偶□n∈N+。极显然：□nÏ∈U是最大自然数！□n+1等是超自然数——推翻自然数公理和集论立论的论据：N+各元n都有对应n+1、2n、…∈N+。
证2：显然N+={（1，2），（3，4），…}（对数列）各元x都换为y=x+1得{（2，3），（4，5），…}=Z～N+是对数列A。Z的元y都是形如y=1+x>x∈N+的数y。而N+的>1的数都是形如1+x>x∈N+的数1+x∈Z表明Z包含了N+的一切非1数。故Z若是N+的一部分则其只能是N+去掉1后余下的部分F={2），（3，4），（5，6），…}。故若Z≠F就证明Z不是N+的一部分。由Z的元可排为对数列A而F的元不能，知Z≠F而非N+的一部分！N+不能ÉZ的原因只能是Z中有N+外正整数：超自然数y0=x0+1>x0∈N+，显然x0就是□n——其后继x0+1ÏN+。（故自有直线函数概念几百年来一直公认的中学的“对于N+的一切数x都有数y=x+1∈N+”是被假象迷惑的重大根本错误）。
证3：将革命道理形象直观化：如[3]所述设有只容一数的数容器：坑（“一个萝卜一个坑”），形象化为○。①就是坑○内有数1。P={①②③...}中的○与N+的数已一一配对，显然若坑的多少不变，挖去一个数就必有一空坑○，正如挖去复平面的一个点就留下了一个“洞”一样。显然N+的任何一部分都不可布满P的○。h推论：凡不可布满P的○的集必≠N+。若有一变换使坑内数1在坑外而又无空坑且各坑的数都不同，就说明必有一坑内数ÏN+。否则就不合逻辑了。例如P内数x∈N+都换为x+1得②③④...的坑都有数x+1而1在坑外，说明其中必有“深埋地下”5千年的N+外正整数y0=x0+1>x0∈N+——显然x0就是上述的□n。鲜明对比的是挖去P的①得②③④...中的数就都∈N+。
证4：变域为Z的y=x+1>x=…，2，1（数列各项x都有左后一项x+1，这一位置关系记为x+1>x）——此表达式非常显然地表达有Z的数y在无穷数列所有项x的后面而ÏN+。据常识②若N+的所有元x都有对应x+1>x则必有x0+1（>x0∈N+）>N+一切元x——显然x0就是□n。
证毕。
注：P中各数都左移一格得1②③④...——百年假象：数比○多了；殊不知因1在坑外，故在无穷远处必有一肉眼看不到的与1“遥相呼应”的○——显然其是P的末项中的坑！人有逻辑推理能力，慧眼能洞察P的所有成员的配对情况而不被目光太短浅而无力认识与把握“无穷”的肉眼所骗。鲜明对比的是挖去P的①再增新首项1得1②③④...才无空坑而打破了“可一一配对”——科学自从知道有无穷现象几千年来一直不识此序列与前者似是而非。
可见有□n个项的序列增或减n个项后就成为有□n±n个项的序列，数列{an}的an都一增为二地变为（an，bn）所成1数序列的项的个数是原数列的2倍，…。仅此一例就说明中学的论断a是将无穷多各根本不同的集误为同一集。故中学的“定义域为N+的无穷多函数y（n）=n+k（k=1，2，…）及=kn，…所能取的值y都∈N+”是搞错y的变域的重大错误。
上述证明中的“N+”换为“形如{1，2，…，n，…}的集（数列）N′”，就证明
h定理2（末项定理）：数列N′有末项。
{…，-2，-1，1，2，…，}可看成是首项是-1的{…，-2，-1}与{1，2，…，}合并成的，故各无穷数列都有末项。显然□n是有□n个项的发散级数∑1的所有项的和；…。世界数学大师欧拉在一片反对声中不但超越同代人且远超后人地“顽固”坚信：任何级数不管是否发散都有一个确定的和或值[4]。“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…[5]”数学家使用的思想工具是否远超时代地足够先进决定其是否能成为大师。标准分析之前2千多年的数学一直使用未经严格证明的无穷数推理，轻而易举地攻克了不用无穷数就无法解决的一系列世界难题，只不过对这类举足轻重的数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了。太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。数学史表明有的数学家因为害怕…，而掩盖其使用“不合逻辑”的无穷数这一“点金术”的真相。
4.分形几何形象直观地显示存在有首、末项的无穷序列——对“无穷”存在自相矛盾的错误认识——数轴R内未识点远多于已知点
线段A————B变为相应的折线段就成为由一瑞典数学家1904年提出的有两端点的Koch曲（折）线。其由4n（>“任意给定的正数”）条同一平面上长相同但斜率各不同的无穷短直线段(短至不可与任何有穷正数对应)连接而成的折线段AB。图象表明组成AB的各直线段从A点到B点可排成无穷序列：段1，段2，…，第4n段（末段）。
由小到大取值且变域为无穷有序集F=[a, b]的x在取数过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的。关键：对人而言F内数多得取之不尽，人不能遍取F内数，但人所创立的符合实际的抽象理论中的变数却能一个不漏地遍取其变域F的一切数，正如人造的机器人等能干人所不能干的事一样。正自然变数n从取1开始不断取数，所取数组成的B是一变集：B由{1}变到{1，2}到{1，2，3}到…，其元不断增多，最后成为一固定集N+的原因是n→∞无数可取了——对变数n来说“无穷”是可完成的。
永生不死者也不能将N+的数由小到大全都写出来。然而有：对于N+“直截了当地假定下面的事实：...。从1开始，沿着后继者的路线，每次数一个，任何一个整数都可以经过有限次数到。”（朱梧槚等译《无限的用处》13页，1985）。这无异于说N+的数n并非多得写不完。此假定显然与实际不符且不合逻辑，且极限论断定N+={n}中有n>“任给定”的正自然数1/ε。有穷数列Y的任何两项之间都绝对不能有无穷多个Y的项，但此性质不能硬套和强加在无穷数列上。
研究运动的物体须变换为研究纸上抽象的平面、直线上的抽象的点的运动。这一“纸上谈兵”思想，意义重大。人的思想须与实际相符，否则必陷入自相矛盾。其实沿直线运动的汽车与宇宙相比是无穷小的微尘（任何有穷数都不能定量描述宇宙比车大多少倍），故可将其映射为沿数轴R运动的无穷小的点来研究（[6]证明了R有最小正数元＜一切已知正数，点集中的点有大小），若其与人一样不可有序遍取其变域无穷集的一切数，取数过程没完没了，则其根本不可由位置b移至a处。芝诺悖论就是揭示因对无穷的错误认识而不知{1/2n}有末项使若用数来表示动物的位置改变，就要陷入“运动不存在”的自相矛盾尴尬。又如因R是连续的，故沿轴动的点x从原点o→x=1处必首先与o相隔有穷多个点，然后才能与o相隔无穷多个点；断定R的任何正数点位置都与o相隔无穷多个点∈R显然抹杀了x有序渐变的连续变化的性质。“R的任何已知正数点都与o相隔无穷多个点∈R”才正确。故R存在无穷多无穷小正数w＜R的一切已知正数x，所以R的各一般已知数x均有无穷多与之无限逼近的用而不知的无穷数点x±w∈R，故R内已知数全体仅是R的沧海一粟。点x所取数组成的变集B的元从无开始不断增多，不经过只含1个、2个、…有穷多个元的阶段就绝不可进入含无穷多个元的阶段。
故不能因N+是无穷集就认为其有最大元不合逻辑。
5.不识末项定理使初中数学有重大错误——其元都（相比下）距0极近（远）的集能含全部正数？
《中学数学研究》2006（3），4页：“本文中大部分定理之证明，都建基于下列两基本性质：...。正整数集N上方无界：即对任何实数x，必有正整数n，使n＞x。”其实此“n＞x=任何实数[x代表（可取）任何实数]”是一目了然的重大病句：有实数n＞任何实数x。关键是式中n代表实数，而x又代表任何实数。代数常识表明重大病句的存在是谁也否认不了的。建基于重大病句之上的定理能成立吗？关键是要慎言连文盲也知其确切含义的“任何”与“所有”。“对任何有穷实数x都有y＞x”就不是病句了。
y=x+误差（y-x）≈x+0（y•x>0）（本文的y≈x是指两者几乎重合相等没差别）的充要条件是误差（y-x）与x>0相比贴近于0以致于可视其为0而忽略。若误差总不可略就表明其相比下总距0极远．
如[7]所述，蚂蚁身高n+甲人身高1000n≈0+1000n是因n相比下实在是太小了以至于可视其为0而忽略。飞机上看摩天大楼小如蚁表明若蚁与甲同时同步地无穷变高（蚁增高n倍的同时甲也增高n倍）使n由1→∞，则甲看蚁身高没任何变化：总是紧贴于地面的小不点，因n→∞被限制一成不变地总为1000n的1/1000（因n被限制是y的反函数使其所取数n都须有别的数y与之对应）。这使S式
y=1000n+误差n≈1000n+0>>n=1,2,…
石破天惊地直接表达可由1→∞的n相比下总≈0，根本不能任意变大。然而身高不变的乙人却见蚁能“任意变高”，继而据初中数学断定式中n可任意变大取一切正整数，将甲所看到的“n总贴近0（相比下）”斥为：缺乏起码数学常识！
关键：S式中的误差项n可视为定量0，因其相比下总是0的近邻，其变域内各数n都有性质：n<<1000n。目光太短浅者无法认识此n→∞相比下总贴近0，正如目光太短浅、视野太狭窄者无法认识脚下大地是球体且远比某星星更渺小一样。逻辑学常识：若一数集S各元（相比下）全都是≈0的极小正整数n则必有n>>S的所有数n。数学断定可视其为0的n≈0可取一切正整数显然是其无法消除的违反数学、逻辑学常识的重大自相矛盾。理论与实际严重对立时必表明理论有重大错误。
科学极不发达期地球的极伟大性掩盖了它的极渺小性，数学极不发达期S式的n→∞的无穷变大性掩盖了其相比下总≈0的另一面。在居高临下的伟人甲眼中无穷大n 总微不足道。目光太短浅的“肉眼数学”对“无穷”的认识太幼稚片面而有极其重大的根本错误。但限于篇幅这里只能挂一漏万。症结是“海不可斗量”，只识有穷数尺度就不能阐明S式的两无穷大之间的距离y-1000n=n→∞为何相比下总微不足道以至于可视其..。症结是因5千年来一直不能证明有无穷大自然数等无穷数而致有深深偏见“任何数都是有穷数”。
据末项定理S式的数列有末项n=m与它的对应1000m相比是0的近邻。
亿亿个正数x的和的数100…0x都有相比下是“天文数字”的性质。若集Z内一个不漏的每一元y分别亿亿倍于别的正数x从而相比下全都是“天文数字”，则Z远不可包含全部正数！凡违反此起码数学、逻辑学常识d的“理论”必是重大错误。y=100…0x>0的变域Z的每一数y=100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，相比下全是极大正数，虽然y可→0。故必有Z外正数<>x>0中的1010x（可→0）总是>>x>0而不可视其为0而忽略的>>0性，知其有相比下总距0极远的另一面，其所取各数1010x>>x>0相比下全是>>0从而远不可视其为0而忽略的极大正数。然而中学数学却断定误差函数1010x>0可取一切正数——违反常识d！
[6]证明了1010x的变域有最小正数元1010x>>x>0。
6.结束语
数学否定客观存在的起关键作用的无穷数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。若在一研究领域内只须用自然数，则其它数是域外数，要将1表为（1/100）100等，就要借助分数。同理，…。设现有数学所需用的一切正数组成W，若其从小到大的一切元x都有对应y>x则显然必至少有一数y=t>W的一切元x。显然这类t是额外派生出来的对现有数学无意义的另类数，正如生产过程中会产生无用的东西一样，因事先已规定W含数学的一切正数。将两类性质不同的数混为一谈就要铸成大错。
本文及[2][3][6]表明数学家们在打基础的中学阶段就受到了影响自己一生的以井代天重大误导教育而又一直被蒙在鼓里，从而受害终生。例如使“天才数学家”康脱推出康健离脱的违反常识的百年病态b论：“部分可=全部”；…。百年集论百年来浪费了亿亿万学生大量的宝贵时间与精力以及亿亿万元宝贵学费。更要命的是它的重大误导作用：误导人推出更重大错误。教科书的重大错误所造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设中的重大错误所造成的经济损失。育人课本及科普书上的重大错误是否及时纠正，与每一个人的切身利益息息相关。
参考文献
[1]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001.10：137、154。
[2]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J] ，科技信息，2009（32）。
[3]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。
[4]张文修，数林漫步[M]，西安：陕西科技出版社，1984：25。
[5][美]爱德华著、张鸿林译，微积分发展史[M]，北京：北京出版社，1987：368。
[6]黄小宁，发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集[J]，中国科技信息，2010（18）。
[7]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学[J]，科技信息，2008（2）:46.
[8]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[９]黄小宁，50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[10]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267。
[11]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由[J]，科学中国人，2009（4）。
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