将一个正整数 m ，分解成 n 个正整数之和，位置不同看作是不同的分法，共有几种分法？

markfang2050

（简单数论问题）大数分解问题：把一个数分解成很多数之和的方法数。

数字相同但位置不同的方案看作两个方法：

如7=1+1+2+3=2+3+1+1看作是不同的两个方法。
求2019分成1，6，13之和的方法数。

luyuanhong

题  将一个正整数 m ，分解成 n 个正整数之和，位置不同看作是不同的分法，共有几种分法？

解  问题相当于要在排成一列的 m 个小球中，插入 n-1 块隔板，将它们分成 n 段。

    在排成一列的 m 个小球中，两两之间共有 m-1 个可以插入隔板的位置，在其中找出 n-1 个

位置，插入 n-1 块隔板，共有 C(m-1,n-1) 种不同的做法。

    所以，将一个正整数 m ，分解成 n 个正整数之和，共有 C(m-1,n-1) 种分法。


例1  要将正整数 m=7 ，分解成 4 个正整数之和，位置不同看作是不同的分法，不同分法数共有

                C(7-1,4-1) = C(6,3) = 20 种。

    7=1+1+1+4 ，7=1+1+2+3 ，7=1+1+3+2 ，7=1+1+4+1 ，7=1+2+1+3 ，

    7=1+2+2+2 ，7=1+2+3+1 ，7=1+3+1+2 ，7=1+3+2+1 ，7=1+4+1+1 ，

    7=2+1+1+3 ，7=2+1+2+2 ，7=2+1+3+1 ，7=2+2+1+2 ，7=2+2+2+1 ，

    7=2+3+1+1 ，7=3+1+1+2 ，7=3+1+2+1 ，7=3+2+1+1 ，7=4+1+1+1 。


例2  要将正整数 m=2019 ，分解成 6 个正整数之和，位置不同看作是不同的分法，不同分法数共有

                C(2019-1,6-1) = C(2018,5) = 277505029405968 种。


例3  要将正整数 m=2019 ，分解成 13 个正整数之和，位置不同看作是不同的分法，不同分法数共有

           C(2019-1,13-1) = C(2018,12) = 9214802628068573905758561509064 种。

markfang2050

需要给出每一个方法的分解方案。分解数可以小点，比如59分成1，6，13之和的所有方案。

markfang2050

数分解问题：把一个数分解成很多数
数字相同但位置不同的方案看作两个方法：

如7=1+1+2+3=2+3+1+1看作是不同的两个方法

f(n)= f(n-1)+f(n-2)+…+ f(1) +1       (第一个数字为1,2,…,n-1,n)



证明 f(n)=2^(n-1)：

当n=1，f(1)=1=2^(1-1)，

假设n<=k时，f(n)=2^(n-1)，

则f(k+1)=1+1+2+…+2^(k-1)=2^k，得证。

现在需要分解特定大数比如59分成1，6，13之和的所有方案。

markfang2050

2．数字相同但位置不同的方案看作一个方法

如7=1+1+2+3=2+3+1+1看作是同一个方法
3．数字不允许重复

如不可以5=3+1+1 (不能有两个1)

markfang2050

列如：6限制分为1，3，5的之和。6=1+1+1+1+1+1+1=1+1+3+1+1=1+1+3+1+1=3+1+1+1+1=1+1+1+1+3=1+5=5+1=3+3共8种。 本帖的核心问题是需要给出特定分解条件下所有的分解组合。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子，可供参考：