证明：圆外切四边形两条对角线的中点与圆心共线

denglongshan · 发表于 2011-2-3 23:12

这种方法显然计算很麻烦

luyuanhong · 发表于 2011-2-4 07:27

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/02/04 07:51am 第 3 次编辑]

下面引用由denglongshan在 2011/02/03 11:12pm 发表的内容：
这种方法显然计算很麻烦

我知道，这题也可以用复数来证明。用复数证明，式子可以简单得多。
但是，因为大家对“用复数证明几何题”都不熟悉,所以,用复数证明这题,
每做一步,都必须详细说明为什么可以这样做。如果要用到一些新的概念，
比如说“共轭比”，就必须向大家详细解释这新的概念是什么意思，如果
要用到这个新概念的某个性质，还必须详细证明这个性质。这样做下来，
就非常麻烦了，还不如用大家熟悉的解析几何的方法来证明了。
不知道 denglongshan 先生能不能用既简单，又能让大家很容易看懂的
复数方法来证明这一题？
也欢迎大家想出更好、更简单的几何方法来直接证明这题。

denglongshan · 发表于 2011-2-4 14:41

陆老师：
新年快乐！
“共轭比”最先由Morley在1929年提出，后来被遗忘了，至今也没有中译名，所以大家都不熟悉。它的定义类似“斜率”，是一个非常基础的概念，用它表示角度关系明显比斜率简单得多，如果想学习用复数方法证明几何定理，恐怕是必须的。
用“共轭比”概念证明本题，还容易看出其它一些解析几何方法难以发现的结论。

申一言 · 发表于 2011-2-4 17:19

a±ib????????????????

denglongshan · 发表于 2011-2-4 19:44

denglongshan · 发表于 2011-2-5 08:47

陆老师：
抱歉，图中忘记说明了，P是△ABC的垂心，Q是D的对径点，后面的角度关系是从OM直线的共轭比表达式发现的。
这道题涉及的关系不多，从头定义共轭比也不麻烦，可以试一试。
不用共轭比，利用三点共线的行列式公式，也容易证明，不过就发现不了后面的角度关系了。

luyuanhong · 发表于 2011-2-5 10:44

上面 denglongshan 先生给出了此题的复数证明，很好！
不过看不大清楚，为了让大家看清楚，我将此题的复数证明重新写了一遍。
考虑到一般的网友对“共轭比”这样的概念不熟悉，所以我把这一概念，直接写成了
容易理解的“与一个向量同方向或反方向的单位向量对应的复数的平方”：

ysr · 发表于 2011-2-5 11:01

大江歌罢掉头东
邃密群科济世穷
面壁十年图破壁
难酬蹈海亦英雄
----周恩来诗
向你们学习，向前辈学习，提高数学水平，随时准备报效祖国！

申一言 · 发表于 2011-2-5 11:36

[这个贴子最后由申一言在 2011/02/05 11:48am 第 1 次编辑]

下面引用由ysr在 2011/02/05 11:01am 发表的内容：
大江歌罢掉头东
邃密群科济世穷
面壁十年图破壁
难酬蹈海亦英雄
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