解方程 √(x^2-10√3x+95)+√(x^2+10√3x+95)=20 ，求 x

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

王守恩

1，((X-5*3^(1/2))^2+20)^(1/2)+((X+5*3^(1/2))^2+20)^(1/2)=20
    ((X-5*3^(1/2))^2+20)^(1/2)=20-((x+5*3^(1/2))^2+20)^(1/2)
    ((x+5*3^(1/2))^2+20)^(1/2)=3^(1/2)/2x+10
         x^2=20

2，验算。
    (x^2-10*3^(1/2)x+95)^(1/2)+(x^2+10*3^(1/2)x+95)^(1/2)
    =(20-10*60^(1/2)+95)^(1/2)+(20+10*60^(1/2)+95)^(1/2)
    =(115-2*1500^(1/2))^(1/2)+(115+2*1500^(1/2))^(1/2)
    =((100+15)-2*(100*15)^(1/2))^(1/2)+((100+15)+2*(100*15)^(1/2))^(1/2)
    =100^(1/2)-15^(1/2)+100^(1/2)+15^(1/2)
    =20

3，又，观察可得
    ((A-B)^2)^(1/2)+((A+B)^2)^(1/2)=20
        A-B+A+B=20
        A=10
   即   x^2+10*3^(1/2)x+95=(A+B)^2=100+20B+B^2
   得   x^2+95=100+B^2      (1)
         10*3^(1/2)X=20B       (2)
      由(2)得   B=3^(1/2)/2X  (3)
      (3)代入(1)   x^2+95=100+3/4x^2
                      x^2=20
                      B^2=15

angel_phoenix88

定义那两个根号式为m(加10sqrt(3)x的那个)，n
m+n=20
则m-n=sqrt(3)x
解出m=sqrt(3)x/2+10
两边同时平方并合并同类项
(x^2)/4=5
解出x=±2sqrt(5)

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩  和 angel_phoenix88 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。