设 x,y 为实数，满足 (x-4)^2+(y-4)^2=4 ，求 xy 的最大值和最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：



是否可求最大值

設 x=4+2cosa, y=4+2sina,  xy=16+2(cosa+sina)+4=20+2(cosa+sina)

為何無法得到答案?

simpley

从几何可以证明最大值为4+根号2的平方

simpley

最小值是C。可以从几何上轻易证明

luyuanhong

drc2000回来

另解：题示曲线为半径为2，圆心为（2，2）的圆。
再做  曲线 族 xy=k，
它是一组（实轴为直线x=y，虚轴为直线x=-y）的双曲线。

易知曲线族和圆相切时，k取得最值，（下略）

luyuanhong

drc2000回来 发表于 2017-1-18 21:18
另解：题示曲线为半径为2，圆心为（2，2）的圆。
再做  曲线 族 xy=k，
它是一组（实轴为直线x=y，虚轴为 ...

angel_phoenix88

設 x=4+2cosa, y=4+2sina,  xy=16+8(cosa+sina)+4sinacosa=16+8sqrt(2)sin(a+π/4)+2sin2a
=16+8sqrt(2)sin(a+π/4)-2cos(π/2+2a)

=16+8sqrt(2)sin(a+π/4)-2(1-2(sin(π/4+a)^2))

=14+8sqrt(2)sin(a+π/4)+4(sin(π/4+a)^2))
=(2sin(π/4+a)-2sqrt(2))^2+6
考虑到ABS(sinx)≤1

最大值为(2+2sqrt(2))^2+6=18+8sqrt(2)
最小值(-2+2sqrt(2)+6=18-8sqrt(2)

angel_phoenix88

抛物线和三角函数的结合，当年高中时我就这样解的

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。