请教一个关于数19的问题

jfzh334467

把从 1/19 到 18/19 的所有分数展开成小数，得到一个 18 × 18 的数字方阵，为什么每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/02/14 10:13pm 第 1 次编辑]

可以证明：
只要分母 n 是一个质数，而且循环节长度是 n-1 ，那么，从 1/n 到 (n-1)/n ，
它们的小数循环节中，必定是相同的一串数字，只是起始的位置互不相同。
而且，如果把循环节数字分成等长的前后两段，两段中对应的数字之和必定等于 9 。
因此，将从 1/n 到 (n-1)/n 的循环节数字组成一个 (n-1)×(n-1) 方阵，方阵中
各行、各列的数字之和必定都相等，必定都等于 9×(n-1)/2 。
例如，当 n=7 时，下列方阵中各行各列数字之和都等于 27 ：
1/7 ＝ 0. 1 4 2 8 5 7
2/7 ＝ 0. 2 8 5 7 1 4
3/7 ＝ 0. 4 2 8 5 7 1
4/7 ＝ 0. 5 7 1 4 2 8
5/7 ＝ 0. 7 1 4 2 8 5
6/7 ＝ 0. 8 5 7 1 4 2
又例如，当 n=17 时，下列方阵中各行各列数字之和都等于 72 ：
  1/17 ＝ 0. 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7
  2/17 ＝ 0. 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4
  3/17 ＝ 0. 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1
  4/17 ＝ 0. 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8
  5/17 ＝ 0. 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5
  6/17 ＝ 0. 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2
  7/17 ＝ 0. 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9
  8/17 ＝ 0. 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6
  9/17 ＝ 0. 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3
10/17 ＝ 0. 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0
11/17 ＝ 0. 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7
12/17 ＝ 0. 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4
13/17 ＝ 0. 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1
14/17 ＝ 0. 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8
15/17 ＝ 0. 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5
16/17 ＝ 0. 9 4 1 1 7 6 4 7 0 5 8 8 2 3 5 2
可见，方阵中各行、各列数字之和相等，是必然的，没有什么奇怪。
但是，不能保证方阵两条对角线数字之和也等于同样的数字。
当 n=19 时，两条对角线数字之和也等于 81 ，确实是很难得的巧合。

GLYZHJ

循环小数的循环节为什么不是一律的N-1？

luyuanhong

分数 m/n 的循环节的长度，要根据分母 n 除去因子 2 和 5 后，是
9,99,999,9999,99999，…… 中哪一个的因子来决定。
例如：
n=37 是 999 的因子，所以 1/37 的循环节长度是 3 。
n=41 是 99999 的因子，所以 1/41 的循环节长度是 5 。
n=7  是 999999 的因子，所以 1/7 的循环节长度是 6 。
下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：