怎样作合同变换将一个对称阵化为对角阵？

dodonaomiki · 发表于 2017-1-29 17:25

本帖最后由 luyuanhong 于 2017-2-8 20:24 编辑

具体描述，请见图片！

dodonaomiki · 发表于 2017-1-29 21:14

就像实对称阵是矩阵的一种特殊，合同对角化是相似对角化的一种特殊

http://vdisk.weibo.com/s/uxkYfcfqODzT3

dodonaomiki · 发表于 2017-1-29 21:32

看到这里，有一点甚是狐疑：

相似矩阵，要比合同矩阵，来的苛刻！

那为什么说：合同对角化，乃是一种特殊的相似对角化？

dodonaomiki · 发表于 2017-1-31 00:50

合同对角化，顶上来！

继续思考！

dodonaomiki · 发表于 2017-2-1 21:16

luyuanhong · 发表于 2017-2-2 20:14

luyuanhong · 发表于 2017-2-2 20:18

dodonaomiki · 发表于 2017-2-2 21:53

那么，陆老师：

我很想知道，
这个合同对角化，与相似对角化，到底区别在哪里？如果·说，

相似对角化包含合同对角化，
那么，是不是说：
合同对角化，针对的是，对称矩阵？
而相似对角化，不仅能把对称矩阵给对角化啦，
而且还能把非对称矩阵也能对角化？

luyuanhong · 发表于 2017-2-2 22:37

本帖最后由 luyuanhong 于 2017-2-2 22:41 编辑

合同变换是 P＇AP ，即左乘 P 的转置 P＇，右乘 P 。

相似变换是 P^(-1)AP ，即左乘 P 的逆阵 P^(-1) ，右乘 P 。

可见，合同变换与相似变换是两种不同的变换，不能说 “相似变换包含合同变换” 。

只有在特殊情况下，即当 P 是一个正交阵，有 P^(-1)=P＇时，这时相似变换才等同于合同变换。

合同变换只能将对称矩阵变成对角阵，不能将非对称矩阵变成对角阵。

相似变换可以将对称矩阵变成对角阵，一般也可以将非对称矩阵变成对角阵。

从这一点也可以以看出：合同变换与相似变换是两种不同的变换。

dodonaomiki · 发表于 2017-2-2 23:50

luyuanhong 发表于 2017-2-2 14:37
合同变换是 P＇AP ，即左乘 P 的转置 P＇，右乘 P 。

相似变换是 P^(-1)AP ，即左乘 P 的逆阵 P^(-1) ...

通过6楼极其生动形象的例子，
我完全意识到了
两者巨大的区别

1）合同变换只能变换对称矩阵
相似变换，对称、不对称“通吃”

2）只有P是一个单位正交阵の时候，
也是非常特殊的时候，合同变换=相似变换

3）合同变换尽管也能搞出对角阵，
但这个对角阵可能不同于相似变换搞出来的对角阵
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在此激烈感谢陆老师！

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