等腰三角形，求证：AD+BD=BC

王守恩 · 发表于 2017-1-30 14:42

在等腰三角形中，∠A=100°，AB=AC,∠B的平分线交AC于D。求证：AD+BD=BC。

王守恩 · 发表于 2017-1-30 15:21

1，正弦定理：AD/sin20=BD/sin100    AD=BDsin20/sin100
2，正弦定理：BD/sin40=BC/sin120    BD=BCsin40/sin120
3，AD+BD=BDsin20/sin100+BCsin40/sin120
            =BD*sin20/sin100+BCsin40/sin120
            =BCsin40/sin120*sin20/sin100+BCsin40/sin120
            =BCsin40/sin120*(sin20/sin100+1)
            =BCsin40/sin120*(sin20+sin100)/sin100
            =BCsin40/sin120*2sin60cos40/sin100
            =BC*2sin40sin60cos40/(sin120sin100)
            =BC*2sin40cos40/sin100
            =BC*sin80/sin100
            =BC
4，即：AD+BD=BC

王守恩 · 发表于 2017-1-31 10:51

证法2。
1，在三角形ABC中：AB/sin40=BC/sin100=2R/sin90=1/sin90=1
   则    BC=sin100 (1)    AB=sin40 (2)
2，在三角形ABD中：AD/sin20=BD/sin100=AB/sin60=sin40/sin60 ..(2)
   则    AD=sin20*sin40/sin60 BD=sin100*sin40/sin60
3，AD+BD=sin20*sin40/sin60+sin100*sin40/sin60
            =sin40/sin60*(sin20+sin100)
            =sin40/sin60*2sin60cos40
            =2sin40cos40
            =sin80
            =sin100 (1)
            =BC
4，即：AD+BD=BC

证法3。
1，在三角形BCD中：BC/sin120=BD/sin40=2R/sin90=1/sin90=1
   则    BC=sin120 (1)    BD=sin40 (2)
2，在三角形ABD中：AD/sin20=BD/sin100=sin40/sin100 ..(2)
   则    AD=sin20*sin40/sin100
3，AD+BD=sin20*sin40/sin100+sin100*sin40/sin100
            =sin40/sin100*(sin20+sin100)
            =sin40/sin100*2sin60cos40
            =2sin40cos40sin60/sin100
            =sin80sin60/sin100
            =sin60
            =sin120 (1)
            =BC
4，即：AD+BD=BC

证法4。
1，在三角形ABD中：AD/sin20=BD/sin100=2R/sin90=1/sin90=1
   则    AD=sin20 (1)    BD=sin100 (2)
2，在三角形BCD中：BC/sin120=BD/sin40=sin100/sin40 ..(2)
3，    BC=sin120*sin100/sin40
            =sin60*sin80/sin40
            =sin60*2sin40cos40/sin40
            =2sin60cos40
            =sin20+sin100
            = (1) +(2)
            = AD +BD
4，即：BC= AD+BD

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