[转帖]概率悖论

ccmmjj

在你面前有两个封闭的盒子，每个盒子里都有一定数量的钱。这些钱是按以下规则放进去的。连续抛一枚质量均匀的硬币，直到它落下来反面向上为止。如果连续抛了n次落下来都是正面向上，到第n+1次才反面向上，则在一个盒子里放3^n元，而在另一个盒子里放3^(n+1)元。
现在允许你打开其中一个盒子，数一数里面有多少钱。你可以把这些钱放进自己的口袋，也可以改变主意，拿走另一个尚未打开的盒子里的钱。你该怎么办？很显然，如果你打开的盒子里面只有1元，那么你应该拿走另一个盒子里的3元。现在假定你打开的盒子里面3^n元（n>0），可知一共抛了n或n+1次硬币。因为抛n次的概率是抛n+1次的两倍，所以另一个盒子里将分别以2/3和1/3的概率有着3^(n-1)和3^(n+1)元。于是你换一个盒子所能得到的钱的数学期望为
2/3*3^(n-1)+1/3*3^(n+1)=11/9*3^n>3^n
因此改取另一个盒子里的钱，就可以使你所得的钱的数学期望达到最大。假定你是个按最大数学期望行事的人，这就是你将采取的行动。（在按最大数学期望行事是否“合理”的问题上存在着争议，但这显然是另外一回事，因为我们在这里关心的仅是数学而不是它对人的行为的意义。）
但是现在既然你已事先知道你总要改取另一个盒子里的钱，那么就没有理由浪费时间去打开一个盒子并数一数里面的钱了。你应该一开始就直接选“另一个盒子”。然而同样的道理可以证明，无论你选哪一个盒子，从数学期望的角度看，你还是选另一个盒子为好。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/03/07 05:39pm 第 1 次编辑]

这个悖论的产生，是因为总的数学期望趋于无穷大的缘故。如果对这个“开盒子”试验
略微作一些修改，使得数学期望不是无穷大，就不会产生悖论了。

ccmmjj

谢谢  luyuanhong 老师的详尽解答。虽然我对各种数学悖论有一定的了解，却不能做出象  luyuanhong 老师这样耐心细致的说明。
我们论坛各种水平面的人物都有，如果没有个别昏蛋在此搅局捣蛋，应该是一个非常好的学习之所。如本贴的解答，就是一个非常有意义的教材。  

  

wangyangkee

哈，ccmmjj，不简单；是个数学政治家，是个政治数学家，，，
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=18355&show=0