当且仅当2n+1为奇素数时(n!)^2≡(2n）!!^2≡(2n-1）!！^2≡（-1）^(n+1) mod 2n+1成立

awei · 发表于 2017-2-24 18:37

本帖最后由 awei 于 2017-2-24 10:49 编辑

......................

awei · 发表于 2017-2-24 19:05

本帖最后由 awei 于 2017-2-24 11:32 编辑

前提是2n+1为素数.............

awei · 发表于 2017-2-26 23:52

本帖最后由 awei 于 2017-2-26 15:55 编辑

转其他论坛老师，比我答案能简洁一些儿。
①2n+1为合数，已证明(2n-1)!!≡0 mod (2n+1)
②2n+1为素数，那么（2n）！≡-1 mod (2n+1)
即 (2n-1)!! (2n)!! ≡-1 mod (2n+1)
应为(2n)!!≡(2n)(2n-2)......(2)≡(-1)(-3)....(-2n+1)
≡(-1)^n × 1× 3× ...× (2n-1)= (-1)^n × (2n-1)!! mod (2n+1)
所以（2n）！≡(-1)^n × (2n-1)!!^2=-1 mod (2n+1)
所以 (2n-1)!!^2≡( (-1)^(n+1) mod (2n+1)
(2n)!!^2= (2n-1)!!^2≡((-1)^(n+1) mod (2n+1)

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当且仅当2n+1为奇素数时(n!)^2≡(2n）!!^2≡(2n-1）!！^2≡（-1）^(n+1) mod 2n+1成立

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