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笔者1986年发表的论文“实数理论的问题与足够准近似分析简介”已经对现行实数理轮提出了问题，后来在文献[4]与论文[11]中又进一步改革了实数理轮，但2016年8年级数学教科书中，仍然采用着无用的等式√2 =1.4142……。为此，需要进一步应用理想与近似对立统一关系阐述一下实数理轮的根本定义与性质。
定义12 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用理想有理数表达的符号都叫无理数。
关于无穷数列，现行教科书是根据自然数集合定义的；其实，有了前述的自然数基本数列，就可以使用一一对应法则提出其它的有用的无穷数列。例如，对自然数基本数列中的任意自然数n，使用法则 an=1/10^n，就可以得到无穷数列：{1，1/10,1/10^2,1/10^3,…… }；这个数列可以简写为 {1/10^n} ；这个数列的正常极限为0，这个无穷数列可以作为“近似计算过程中的误差界序列”。
定义13（数列极限的定义）：对于任何无穷数列 与任意小误差界ε（误差界可以是任意正理想有理数；也可以只取1/10^n 之类的正有理数），若有理想实数α及自然数N存在，使|an-α|<ε ，则称数列 收敛，并称理想实数α为n 趋向于无穷大时，无穷数列 的极限值（简称为极限）。记作：liman= α。
与现行数学分析的定义相比较，笔者对符号ε加上了误差界的具有实用意义的说明。此外，关于数列与其极限值之间的关系，笔者强调：极限值常常是数列无法达到的理想事物。例一，数列{1/n}与{2/n}的极限值都是0，但它们都不能达到0，现行数学分析 把这两个0的比作为不定式去研究是有用的，导数就是0比0型的极限。例二，关于芝诺的“勇士阿基里斯追不上乌龟”的悖论，吴咸在《怎样认识极限》一文中批判了“极限只是同潜无限（即潜无穷）打交道”的见解[10]；他用极限值可以到达的观点说明阿基里斯能追上乌龟，但实际上那个极限值是那个数列永远达不到数值。
定义14 若数列{an} 的极限是理想实数α , 则称数列{an} 是理想实数α 的全能近似值数列（或简称为α的全能近似实数），理想实数与它全能近似实数之间有全能近似相等的关系, 并用符号 “~ ” 表示这种关系；将全能近似实数在满足误差界要求处截断之后得到的数叫做理想实数 的近似值；近似实数与理想实数之间有着相互依赖的对立统一关系。
定义15（正无尽小数的应有定义）若无穷数列 a(n) 满足条件： 对任意满足以下两条: (1) 0 ≤ a(n) ≤ 9; (2) 对任意 N, 存在 n 使 a(n) > 0 的整数序列 {a(n)}, 则称 表达式 0.a(1)a(2)...a(n)... 为正 无尽小数. 由这个定义知道, 无尽小数虽然不能写出其所有每一位数值, 但可以求出其极限，这个极限 是一个确定的理想实数。若无尽小数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重负出现，这样的无尽小数叫做无尽循环小数，否则叫做无尽不循环小数。循环小数中，依次不断地重复出现的数字，叫做循环小数的循环节。
上述定义12表明：笔者的实数理论是研究现实数量大小的理论。在这个定义下，前一节讲到的有理数都可以是绝对准表示现实线段长度的理想实数，例如，1可以举对准地表示线段长度的度量单位（米）的长度，分数1/3可以绝对准的表示度量单位的三分之一，故有理数都可以是理想实数；但对一般的线段来讲，由于我们没有线段长度的绝对准的度量法则，这时候使用有理数表示线段长度时就可能有误差，因此，就需要进行误差分析。
由于根号2表示以1为边长的直角三角形的斜边长，在定义12之下根号2也是理想实数；由于π表达了直径为1的圆周长，根据定义12 ，它也是一个理想实数。文献[3]证明了“π与根号2”都不是有理数，所以根据定义12，这两个理想实数都是无理数。提出这种无理数有很多好处，例如，有了π，就可以提出“角大小的弧度表示方法”，就可以研究三角函数的导数、级数理论。但只有π这个符号是不够的，还需要将它与线段长度的度量单位联系起来，用度量的方法，可以得到近似等式：π≈3.14；但人们没有绝对准测量线段长度的法则。为了得到π的更精确的有尽小数近似值，可以使用圆内接或外切正多边形的周长逐步逼近圆周长的办法，提出对对应于误差界序列 的圆周率π的不足近似值数列{3，3.1，3.14，3.141，3.141，3.1415，……} 与过剩近似值数列{4，3.2，3.14，3.142，3.1416，……}。根据定义13，由于误差界序列的极限是0，所以这两个数列的极限都是理想实数π；其中前一个数列可以简写为3.1415926……，根据定义15，它是一个无尽小数。再根据笔者的文献[11]，它不能是无尽循环小数[11]，所以称它是无尽不循环小数。根据定义13，可以写出极限性等式π=lim3.1415926……，又由于从这个数列中，可以找到π的满足任意小误差界下的近似值，根据定义14， 可以提出全能近似相等表达式：π~3.1415926……。但这两个数列都是算不到底的无穷数列，常常需要使用数列中的数（例如：3.1416或科学计算器中的32位近似值）计算圆周长。在上述意义下，无尽小数都不是定数，都是写不到底的无穷数列；等式π=3.1415926……不能成立，这个无尽小数表达式3.1415926……是永远算不到底的事物，因此，这个表达式中没有100个连续的0与有奇数个、偶数个100个连续0 的命题都是不可判断的命题，所以布劳维尔就无法提出他那个无法判断其“大于0，小于0或等于0”的实数。这样一来，就消除了布劳威尔提出的三分律反例。
在此需要指出： 笔者为数学理论的改革已经进行了55年的工作，用了花去大约十万元，出版了书，发表过十多篇论文，跑过许多大学，现在走不动了 在网上被骂几千次，但仍然坚持这个工作。这是一个使用唯物辩证法、使用对立统一法则的太极图式的数学理论改革。我已经写了 一百多万字，但仍然不够，希望网友们把这个工作坚持下去。 跳出康托儿（G.Cantor）的“数学必须肯定完成了实无穷”、希尔伯特的“必须使用完成了实无穷观点保护古典数学”的束缚 |
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发表于 2017-3-6 09:53
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